Cholesky decomposition

Properties of the algorithm: Sequential complexity: [math]O(n^3)[/math] Height of the parallel form: [math]O(n)[/math] Width of the parallel form: [math]O(n^2)[/math] Amount of input data: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] Amount of output data: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]

1 Properties and structure of the algorithm

1.1 General description

The Cholesky decomposition algorithm was first proposed by Andre-Louis Cholesky (October 15, 1875 - August 31, 1918) at the end of the First World War shortly before he was killed in battle. He was a French military officer and mathematician. The idea of this algorithm was published in 1924 by his fellow officer and, later, was used by Banachiewicz in 1938 [7]. In the Russian mathematical literature, the Cholesky decomposition is also known as the square-root method [1-3] due to the square root operations used in this decomposition and not used in Gaussian elimination.

Originally, the Cholesky decomposition was used only for dense symmetric positive definite matrices. At present, the application of this decomposition is much wider. For example, it can also be employed for the case of Hermitian matrices. In order to increase the computing performance, its block versions are often applied.

In the case of sparse matrices, the Cholesky decomposition is also widely used as the main stage of a direct method for solving linear systems. In order to reduce the memory requirements and the profile of the matrix, special reordering strategies are applied to minimize the number of arithmetic operations. A number of reordering strategies are used to identify the independent matrix blocks for parallel computing systems.

Various versions of the Cholesky decomposition are successfully used in iterative methods to construct preconditioners for sparse symmetric positive definite matrices. In the case of incomplete triangular decomposition, the elements of a preconditioning matrix are specified only in predetermined positions (for example, in the positions of the nonzero elements; this version is known as the IC0 decomposition). In order to construct a more accurate decomposition, a filtration of small elements is performed using a filtration threshold. The use of such a threshold allows one to obtain an accurate decomposition, but the number of nonzero elements increases. A decomposition algorithm of second-order accuracy is discussed in [11]; this algorithm retains the number of nonzero elements in the factors of the decomposition and allows one to increase the accuracy. In its parallel implementation, a special version of an additive preconditioner is applied on the basis of the second-order decomposition [12].

Here we consider the original version of the Cholesky decomposition for dense real symmetric positive definite matrices. For a number of other versions, however, the structure of this decomposition is almost the same (for example, for the complex case): the distinctions consist in the change of most real operations by the corresponding complex operations. A list of other basic versions of the Cholesky decomposition is available on the page The Cholesky method (symmetric triangular decomposition).

For positive definite Hermitian matrices (symmetric matrices in the real case), we use the decomposition [math]A = L L^*[/math], where [math]L[/math] is the lower triangular matrix, or the decomposition [math]A = U^* U[/math], where [math]U[/math] is the upper triangular matrix. These forms of the Cholesky decomposition are equivalent in the sense of the amount of arithmetic operations and are different in the sense of data represntation. The essence of this decomposition consists in the implementation of formulas obtained uniquely for the elements of the matrix [math]L[/math] form the above equality. The Cholesky decomposition is widely used due to the following features.

1.1.1 Symmetry of matrices

The symmetry of a matrix allows one to store in computer memory slightly more than half the number of its elements and to reduce the number of operations by a factor of two compared to Gaussian elimination. Note that the LU-decomposition does not require the square-root operations when using the property of symmetry and, hence, is somewhat faster than the Cholesky decomposition, but requires to store the entire matrix.

1.1.2 Accumulation mode

The Cholesky decomposition allows one to use the so-called accumulation mode due to the fact that the significant part of computation involves dot product operations. Hence, these dot products can be accumulated in double precision for additional accuracy. In this mode, the Cholesky method has the least equivalent perturbation. During the process of decomposition, no growth of the matrix elements can occur, since the matrix is symmetric and positive definite. Thus, the Cholesky algorithm is unconditionally stable.

1.2 Mathematical description

Input data: a symmetric positive definite matrix [math]A[/math] whose elements are denoted by [math]a_{ij}[/math]).

Output data: the lower triangular matrix [math]L[/math] whose elements are denoted by [math]l_{ij}[/math]).

The Cholesky algorithm can be represented in the form

[math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

There exist block versions of this algorithm; however, here we consider only its “dot” version.

In a number of implementations, the division by the diagonal element [math]l_{ii}[/math] is made in the following two steps: the computation of [math]\frac{1}{l_{ii}}[/math] and, then, the multiplication of the result by the modified values of [math]a_{ji}[/math] . Here we do not consider this computational scheme, since this scheme has worse parallel characteristics than that given above.

1.3 Computational kernel of the Cholesky algorithm

A computational kernel of its sequential version can be composed of [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] dot products of the matrix rows:

[math]\sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}.[/math]

These dot products can be accumulated in double precision for additional accuracy.

In many implementations, however, the operation

[math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math]

is performed by subtracting the componentwise products as parts of dot products from [math]a_{ji}[/math] instead of subtracting the entire dot product from [math]a_{ji}[/math]. Hence, the following operation should be considered as a computational kernel instead of the dot product operation:

[math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math].

Here the accumulation in double precision can also be used.

The Cholesky algorithm is implemented in the LINPACK and LAPACK libraries on the basis of the BLAS library by using the SDOT dot product subprogram. In the sequential mode, this approach involves an additional sum operation for each of the elements of the matrix [math]L[/math] (the total number of these elements is equal to [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]) and causes a certain slowing of the algorithm performance. Other consequences are discussed in the subsection «Existing implementations of the algorithm»). In the BLAS-based implementations, thus, the computational kernel of the Cholesky algorithm consists of dot products.

1.4 Macrostructure of the Cholesky algorithm

As shown above, the main part of the Cholesky algorithm consists of the following [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] operations (with or without accumulation):

[math]a_{ji}-\sum_{p=1}^{i-1}l_{ip} l_{jp}[/math].

1.5 The implementation scheme of the sequential algorithm

This scheme can be represented as

1. [math]l_{11}= \sqrt{a_{11}}[/math]

2. [math]l_{j1}= \frac{a_{j1}}{l_{11}}[/math] (for [math]j[/math] from [math]2[/math] to [math]n[/math]).

For all [math]i[/math] from [math]2[/math] to [math]n[/math]:

3. [math]l_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}[/math] and

4. (except for [math]i = n[/math]): [math]l_{ji} = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}[/math] (for all [math]j[/math] from [math]i + 1[/math] to [math]n[/math]).

If [math]i \lt n[/math], then [math]i = i+1[/math] and go to step 3.

In the above two formulas, the computation of [math]a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp}[/math] is performed in the accumulation mode: the sum is computed in double precision and is rounded off before the subtraction.

1.6 Sequential complexity of the algorithm

The following number of operations should be performed to decompose a matrix of order [math]n[/math] using a sequential version of the Cholesky algorithm:

• [math]n[/math] square roots,
• [math]\frac{n(n-1)}{2}[/math] divisiona,
• по [math]\frac{n^3-n}{6}[/math] multiplications and additions (subtractions) — the main amount of computational work.

In the accumulation mode, the multiplication and subtraction operations should be made in double precision (or by using the corresponding function, like the DPROD function in Fortran), which increases the computation time of the Cholesky algorithm.

Thus, a sequential version of the Cholesky algorithm is of cubic complexity.

1.7 Information graph

Опишем граф алгоритма как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма состоит из трёх групп вершин, расположенных в целочисленных узлах трёх областей разной размерности.

Первая группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию SQRT. Естественно введённая единственная координата каждой из вершин [math]i[/math] меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргумент этой функции

• при [math]i = 1[/math] — элемент входных данных, а именно [math]a_{11}[/math];
• при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1[/math], [math]i[/math], [math]i - 1[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]l_{ii}[/math].

Вторая группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция [math]a / b[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n-1[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i+1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]i = 1[/math] — элементы входных данных, а именно [math]a_{j1}[/math];
  • при [math]i \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i - 1, j, i - 1[/math];
• [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой [math]i[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]l_{ji}[/math].

Третья группа вершин расположена в трёхмерной области, соответствующая ей операция [math]a - b * c[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]2[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]i[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]p[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]i - 1[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]a[/math]:
  • при [math]p = 1[/math] элемент входных данных [math]a_{ji}[/math];
  • при [math]p \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из третьей группы, с координатами [math]i, j, p - 1[/math];
• [math]b[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, i[/math];
• [math]c[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]p, j[/math];

Результат срабатывания операции является промежуточным данным алгоритма.

Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая [math]n = 4[/math]. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и буквосочетанием sq, вершины второй — зелёным цветом и знаком деления, третьей — красным цветом и буквой f. Вершины, соответствующие операциям, производящим выходные данные алгоритма, выполнены более крупно. Дублирующие друг друга дуги даны как одна. На первом изображении показан граф алгоритма согласно классическому определению , на втором к графу алгоритма добавлены вершины , соответствующие входным данным ( обозначены синим цветом ) и выходным данным ( обозначены розовым цветом ).

Можно посмотреть и запись графа алгоритма разложения Холецкого, сделанную на языке Сигма.

Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление.

Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных. SQ - вычисление квадратного корня, F - операция a-bc, Div - деление, In - входные данные, Out - результаты.

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

Для разложения матрицы порядка [math]n[/math] методом Холецкого в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• [math]n[/math] ярусов с вычислением квадратного корня (единичные вычисления в каждом из ярусов),
• [math]n - 1[/math] ярус делений (в каждом из ярусов линейное количество делений, в зависимости от яруса — от [math]1[/math] до [math]n - 1[/math]),
• по [math]n - 1[/math] ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — квадратичное количество операций, от [math]1[/math] до [math]\frac{n^2 - n}{2}[/math].

Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления квадратных корней и делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах ЯПФ отдельных вычислений квадратных корней может породить и другие проблемы. Например, при реализации на ПЛИСах остальные вычисления (деления и тем более умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; вычисления же квадратных корней из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени. Таким образом, общая экономия в 2 раза, из-за которой метод Холецкого предпочитают в случае симметричных задач тому же методу Гаусса, в параллельном случае уже имеет место вовсе не по всем ресурсам, и главное - не по требуемому времени.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения метода Холецкого в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает увеличение требуемой памяти почти в 2 раза.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам с линейной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет квадратичной.

1.9 Описание входных и выходных данных

Входные данные: плотная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]). Дополнительные ограничения:

• [math]A[/math] – симметрическая матрица, т. е. [math]a_{ij}= a_{ji}, i, j = 1, \ldots, n[/math].
• [math]A[/math] – положительно определённая матрица, т. е. для любых ненулевых векторов [math]\vec{x}[/math] выполняется [math]\vec{x}^T A \vec{x} \gt 0[/math].

Объём входных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в библиотеке, реализованной в НИВЦ МГУ, матрица A хранилась в одномерном массиве длины [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] по строкам своей нижней части.

Выходные данные: левая треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые - диагональ и поддиагональные - элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. Например, в той же библиотеке, созданной в НИВЦ МГУ, матрица [math]L[/math] хранилась в одномерном массиве длины [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] по строкам своей нижней части.

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является квадратичным (отношение кубической к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь линейна.

При этом алгоритм почти полностью детерминирован, это гарантируется теоремой о единственности разложения. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций может привести к накоплению ошибок округления, однако это влияние в используемых вариантах алгоритма не так велико, как, скажем, отказ от использования режима накопления.

Дуги информационного графа, исходящие из вершин, соответствующих операциям квадратного корня и деления, образуют пучки т. н. рассылок линейной мощности (то есть степень исхода этих вершин и мощность работы с этими данными — линейная функция от порядка матрицы и координат этих вершин). При этом естественно наличие в этих пучках «длинных» дуг. Остальные дуги локальны.

Наиболее известной является компактная укладка графа — его проекция на треугольник матрицы, который перевычисляется укладываемыми операциями. При этом «длинные» дуги можно убрать, заменив более дальнюю пересылку комбинацией нескольких ближних (к соседям).

Эквивалентное возмущение [math]M[/math] у метода Холецкого всего вдвое больше, чем возмущение [math]\delta A[/math], вносимое в матрицу при вводе чисел в компьютер: [math] ||M||_{E} \leq 2||\delta A||_{E} [/math]

Это явление обусловлено положительной определённостью матрицы. Среди всех используемых разложений матриц это наименьшее из эквивалентных возмущений.

2 Программная реализация

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

В простейшем (без перестановок суммирования) варианте метод Холецкого на Фортране можно записать так:

	DO  I = 1, N
		S = A(I,I)
		DO  IP=1, I-1
			S = S - DPROD(A(I,P), A(I,IP))
		END DO
		A(I,I) = SQRT (S)
		DO  J = I+1, N
			S = A(J,I)
			DO  IP=1, I-1
				S = S - DPROD(A(I,P), A(J,IP))
			END DO
			A(J,I) = S/A(I,I)
		END DO
	END DO

При этом для реализации режима накопления переменная [math]S[/math] должна быть двойной точности.

Для метода Холецкого существует блочная версия, которая отличается от точечной не тем, что операции над числами заменены на аналоги этих операций над блоками; её построение основано на том, что практически все циклы точечной версии имеют тип SchedDo в терминах методологии, основанной на исследовании информационного графа и, следовательно, могут быть расщеплены на составляющие. Тем не менее, обычно блочную версию метода Холецкого записывают не в виде программы с расщеплёнными и переставленными циклами, а в виде программы, подобной реализации точечного метода, в которой вместо соответствующих скалярных операций присутствуют операции над блоками.

Для обеспечения локальности работы с памятью представляется более эффективной такая схема метода Холецкого (полностью эквивалентная описанной), когда исходная матрица и её разложение хранятся не в нижнем-левом, а в правом-верхнем треугольнике. Это связано с особенностью размещения массивов в Фортране и тем, что в этом случае вычисления скалярных произведений будут идти с выборкой идущих подряд элементов массива.

Есть и другой вариант точечной схемы: использовать вычисляемые элементы матрицы [math]L[/math] в качестве аргументов непосредственно «сразу после» их вычисления. Такая программа будет выглядеть так:

	DO  I = 1, N
		A(I,I) = SQRT (A(I, I))
		DO  J = I+1, N
			A(J,I) = A(J,I)/A(I,I)
		END DO
		DO  K=I+1,N
			DO J = K, N
				A(J,K) = A(J,K) - A(J,I)*A(K,I)
			END DO	
		END DO
	END DO

Как видно, в этом варианте для реализации режима накопления одинарной точности мы должны будем объявить двойную точность для массива, хранящего исходные данные и результат. Подчеркнём, что граф алгоритма обеих схем - один и тот же (из п.1.7), если не считать изменением замену умножения на функцию DPROD!

2.2 Описание локальности данных и вычислений

2.2.2 Описание локальности реализации алгоритма

2.2.2.1 Описание структуры обращений в память и качественная оценка локальности

Рисунок 1. Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память

На рисунке 1 представлен профиль обращений в память для реализации метода Холецкого. В программе задействован только 1 массив, поэтому в данном случае обращения в профиле происходят только к элементам этого массива. Программа состоит из одного основного этапа, который, в свою очередь, состоит из последовательности подобных итераций. Пример одной итерации выделен зеленым цветом.

Видно, что на каждой [math]i[/math]-й итерации используются все адреса, кроме первых [math]k_i[/math], при этом с ростом [math]i[/math] увеличивается значение [math]k_i[/math]. Также можно заметить, что число обращений в память на каждой итерации растет примерно до середины работы программы, после чего уменьшается вплоть до завершения работы. Это позволяет говорить о том, что данные в программе используются неравномерно, при этом многие итерации, особенно в начале выполнения программы, задействуют большой объем данных, что приводит к ухудшению локальности.

Однако в данном случае основным фактором, влияющим на локальность работы с памятью, является строение итерации. Рассмотрим фрагмент профиля, соответствующий нескольким первым итерациям.

Рисунок 2. Реализация метода Холецкого. Фрагмент профиля (несколько первых итераций)

Исходя из рисунка 2 видно, что каждая итерация состоит из двух различных фрагментов. Фрагмент 1 – последовательный перебор (с некоторым шагом) всех адресов, начиная с некоторого начального. При этом к каждому элементу происходит мало обращений. Такой фрагмент обладает достаточно неплохой пространственной локальностью, так как шаг по памяти между соседними обращениями невелик, но плохой временно́й локальностью, поскольку данные редко используются повторно.

Фрагмент 2 устроен гораздо лучше с точки зрения локальности. В рамках этого фрагмента выполняется большое число обращений подряд к одним и тем же данным, что обеспечивает гораздо более высокую степень как пространственной, так и временно́й локальности по сравнению с фрагментом 1.

После рассмотрения фрагмента профиля на рис. 2 можно оценить общую локальность двух фрагментов на каждой итерации. Однако стоит рассмотреть более подробно, как устроен каждый из фрагментов.

Рисунок 3. Реализация метода Холецкого. Фрагмент профиля (часть одной итерации)

Рис. 3, на котором представлена часть одной итерации общего профиля, позволяет отметить достаточно интересный факт: строение каждого из фрагментов на самом деле заметно сложнее, чем это выглядит на рис. 2. В частности, каждый шаг фрагмента 1 состоит из нескольких обращений к соседним элементам, причем выполняется не последовательный перебор. Также можно увидеть, что фрагмент 2 на самом деле в свою очередь состоит из повторяющихся итераций, при этом видно, что каждый шаг фрагмента 1 соответствует одной итерации фрагмента 2 (выделено зеленым на рис. 3). Это лишний раз говорит о том, что для точного понимания локальной структуры профиля необходимо его рассмотреть на уровне отдельных обращений.

Стоит отметить, что выводы на основе рис. 3 просто дополняют общее представлении о строении профиля обращений; сделанные на основе рис. 2 выводы относительно общей локальности двух фрагментов остаются верны.

2.2.2.2 Количественная оценка локальности

Основной фрагмент реализации, на основе которого были получены количественные оценки, приведен здесь (функция Kernel). Условия запуска описаны здесь.

Первая оценка выполняется на основе характеристики daps, которая оценивает число выполненных обращений (чтений и записей) в память в секунду. Данная характеристика является аналогом оценки flops применительно к работе с памятью и является в большей степени оценкой производительности взаимодействия с памятью, чем оценкой локальности. Однако она служит хорошим источником информации, в том числе для сравнения с результатами по следующей характеристике cvg.

Рисунок 4. Сравнение значений оценки daps

На рисунке 4 приведены значения daps для реализаций распространенных алгоритмов, отсортированные по возрастанию (чем больше daps, тем в общем случае выше производительность). Можно увидеть, что реализация метода Холецкого характеризуется достаточно высокой скоростью взаимодействия с памятью, однако ниже, чем, например, у теста Линпак или реализации метода Якоби.

Вторая характеристика – cvg – предназначена для получения более машинно-независимой оценки локальности. Она определяет, насколько часто в программе необходимо подтягивать данные в кэш-память. Соответственно, чем меньше значение cvg, тем реже это нужно делать, тем лучше локальность.

Рисунок 5. Сравнение значений оценки cvg

На рисунке 5 приведены значения cvg для того же набора реализаций, отсортированные по убыванию (чем меньше cvg, тем в общем случае выше локальность). Можно увидеть, что, согласно данной оценке, реализация метода Холецкого оказалась ниже в списке по сравнению с оценкой daps.

2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма

Как нетрудно видеть по структуре графа алгоритма, вариантов распараллеливания алгоритма довольно много. Например, во втором варианте (см. раздел «Особенности реализации последовательного алгоритма») все внутренние циклы параллельны, в первом — параллелен цикл по [math]J[/math]. Тем не менее, простое распараллеливание таким способом «в лоб» вызовет такое количество пересылок между процессорами с каждым шагом по внешнему циклу, которое почти сопоставимо с количеством арифметических операций. Поэтому перед размещением операций и данных между процессорами вычислительной системы предпочтительно разбиение всего пространства вычислений на блоки, с сопутствующим разбиением обрабатываемого массива.

Многое зависит от конкретного типа вычислительной системы. Присутствие конвейеров на узлах многопроцессорной системы делает рентабельным параллельное вычисление нескольких скалярных произведений сразу. Подобная возможность есть и на программировании ПЛИСов, но там быстродействие будет ограничено медленным последовательным выполнением операции извлечения квадратного корня.

В принципе, возможно и использование т. н. «скошенного» параллелизма. Однако его на практике никто не использует, из-за усложнения управляющей структуры программы.

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.2 Описание масштабируемости реализации алгоритма

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации разложения Холецкого согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров [4 : 256] с шагом 4;
• размер матрицы [1024 : 5120].

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:

• минимальная эффективность реализации 0,11%;
• максимальная эффективность реализации 2,65%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации разложения Холецкого в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 1. Параллельная реализация метода Холецкого. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

Рисунок 2. Параллельная реализация метода Холецкого. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

Построим оценки масштабируемости выбранной реализации разложения Холецкого:

• По числу процессов: -0,000593. При увеличении числа процессов эффективность на рассмотренной области изменений параметров запуска уменьшается, однако в целом уменьшение не очень быстрое. Малая интенсивность изменения объясняется крайне низкой общей эффективностью работы приложения с максимумом в 2,65%, и значение эффективности на рассмотренной области значений быстро доходит до десятых долей процента. Это свидетельствует о том, что на большей части области значений нет интенсивного снижения эффективности. Это объясняется также тем, что с ростом вычислительной сложности падение эффективности становится не таким быстрым. Уменьшение эффективности на рассмотренной области работы параллельной программы объясняется быстрым ростом накладных расходов на организацию параллельного выполнения. С ростом вычислительной сложности задачи эффективность снижается так же быстро, но при больших значениях числа процессов. Это подтверждает предположение о том, что накладные расходы начинают сильно превалировать над вычислениями.
• По размеру задачи: 0,06017. При увеличении размера задачи эффективность возрастает. Эффективность возрастает тем быстрее, чем большее число процессов используется для выполнения. Это подтверждает предположение о том, что размер задачи сильно влияет на эффективность выполнения приложения. Оценка показывает, что с ростом размера задачи эффективность на рассмотренной области значений параметров запуска сильно увеличивается. Также, учитывая разницу максимальной и минимальной эффективности в 2,5%, можно сделать вывод, что рост эффективности при увеличении размера задачи наблюдается на большей части рассмотренной области значений.
• По двум направлениям: 0,000403. При рассмотрении увеличения как вычислительной сложности, так и числа процессов на всей рассмотренной области значений эффективность увеличивается, однако скорость увеличения эффективности небольшая. В совокупности с тем фактом, что разница между максимальной и минимальной эффективностью на рассмотренной области значений параметров небольшая, эффективность с увеличением масштабов возрастает, но медленно и с небольшими перепадами.

Исследованная параллельная реализация на языке C

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Для существующих параллельных реализаций характерно отнесение всего ресурса параллелизма на блочный уровень. Относительно низкая эффективность работы связана с проблемами внутри одного узла, следующим фактором является неоптимальное соотношение между «арифметикой» и обменами. Видно, что при некотором (довольно большом) оптимальном размере блока обмены влияют не так уж сильно.

Для проведения экспериментов использовалась реализация разложения Холецкого, представленная в пакете SCALAPACK библиотеки Intel MKL (метод pdpotrf). Все результаты получены на суперкомпьютере «Ломоносов». Использовались процессоры Intel Xeon X5570 с пиковой производительностью в 94 Гфлопс, а также компилятор Intel с опцией –O2.

На рисунке показана эффективность реализации разложения Холецкого (случай использования нижних треугольников матриц) для разного числа процессов и разной размерности матрицы (10000, 20000 и 50000 элементов). Видно, что общая эффективность достаточно невысока – даже при малом числе процессов менее 10 %. Однако при всех размерностях матрицы эффективность снижается очень медленно – в самом худшем случае, при N = 10000, при увеличении числа процессов с 16 до 900 (в 56 раз) эффективность падает с 7 % до 0,8 % (всего в 9 раз). При N = 50000 эффективность уменьшается еще медленнее.

Также стоит отметить небольшое суперлинейное ускорение, полученное на 4-х процессах для N = 10000 и N = 20000 (для N = 50000 провести эксперименты на таком малом числе процессов не удалось). Помимо более эффективной работы с кэш-памятью, оно, видимо, обусловлено тем, что эти 4 процесса помещаются на ядрах одного процессора, что позволяет использовать общую память, и, соответственно, не приводит к появлению накладных расходов, связанных с пересылкой данных.

2.6 Выводы для классов архитектур

Как видно по показателям SCALAPACK на суперкомпьютерах, обмены при большом n хоть и уменьшают эффективность расчётов, но слабее, чем неоптимальность организации расчётов внутри одного узла. Поэтому, видимо, следует сначала оптимизировать не блочный алгоритм, а подпрограммы, используемые на отдельных процессорах: точечный метод Холецкого, перемножения матриц и др. подпрограммы. Ниже содержится информация о возможном направлении такой оптимизации.

В отношении же архитектуры типа ПЛИС вполне показателен тот момент, что разработчики — наполнители библиотек для ПЛИСов пока что не докладывают об успешных и эффективных реализациях точечного метода Холецкого на ПЛИСах. Это связано со следующим свойством информационной структуры алгоритма: если операции деления или вычисления выражений [math]a - bc[/math] являются не только массовыми, но и параллельными, и потому их вычисления сравнительно легко выстраивать в конвейеры, то операции извлечения квадратных корней являются узким местом алгоритма - отведённое на эту операцию оборудование неизбежно будет простаивать большую часть времени. Поэтому для эффективной реализации на ПЛИСах алгоритмов, столь же хороших по вычислительным характеристикам, как и метод квадратного корня, следует использовать не метод Холецкого, а его давно известную модификацию без извлечения квадратных корней — разложение матрицы в произведение [math]L D L^T[/math].

2.7 Существующие реализации алгоритма

Точечный метод Холецкого реализован как в основных библиотеках программ отечественных организаций, так и в западных пакетах LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и др.

При этом в отечественных реализациях, как правило, выполнены стандартные требования к методу с точки зрения ошибок округления, то есть, реализован режим накопления, и обычно нет лишних операций. Правда, анахронизмом в наше время выглядит то, что ряд старых отечественных реализаций использует для экономии памяти упаковку матриц [math]A[/math] и [math]L[/math] в одномерный массив. При реальных вычислениях на современных вычислительных системах данная упаковка только создаёт дополнительные накладные расходы. Однако отечественные реализации, не использующие такую упаковку, вполне отвечают требованиям современности в отношении вычислительной точности метода.

Реализация точечного метода Холецкого в современных западных пакетах страдает другими недостатками, вытекающими из того, что все эти реализации, по сути, происходят из одной и той же реализации метода в LINPACK, а та использует пакет BLAS. Основным их недостатком является даже не наличие лишних операций, о котором уже написано в разделе «Вычислительное ядро алгоритма», ибо их количество всё же невелико по сравнению с главной частью, а то, что в BLAS скалярное произведение реализовано без режима накопления. Это перечёркивает имеющиеся для метода Холецкого хорошие оценки влияния ошибок округления, поскольку они выведены как раз в предположении использования режима накопления при вычислении скалярных произведений. Поэтому тот, кто использует реализации метода Холецкого из LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и т. п. пакетов, серьёзно рискует не получить требуемую вычислительную точность, либо ему придётся для получения хороших оценок одинарной точности использовать подпрограммы двойной.

В крупнейших библиотеках алгоритмов до сих пор предлагается именно разложение Холецкого, а более быстрый алгоритм LU-разложения без извлечения квадратных корней используется только в особых случаях (например, для трёхдиагональных матриц), в которых количество диагональных элементов уже сравнимо с количеством внедиагональных.

3 Литература

1. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
3. Фаддеев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные основы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963.
4. Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений// М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. 345 с.
5. Фролов А.В.. Принципы построения и описание языка Сигма. Препринт ОВМ АН N 236. М.: ОВМ АН СССР, 1989.
6. Commandant Benoit, Note sur une méthode de résolution des équations normales provenant de l'application de la méthode des moindres carrés à un système d'équations linéaires en nombre inférieur à celui des inconnues (Procédé du Commandant Cholesky), Bulletin Géodésique 2 (1924), 67-77.
7. Banachiewicz T. Principles d'une nouvelle technique de la méthode des moindres carrês. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938, 134-135.
8. Banachiewicz T. Méthode de résoltution numérique des équations linéaires, du calcul des déterminants et des inverses et de réduction des formes quardatiques. Bull. Intern. Acad. Polon. Sci. A., 1938, 393-401.
9. Krishnamoorthy A., Menon D. Matrix Inversion Using Cholesky Decomposition. 2013. eprint arXiv:1111.4144
10. Открытая энциклопедия свойств алгоритмов. URL: http://algowiki-project.org
11. Kaporin I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive definite matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition. Numer. Lin. Algebra Appl. (1998) Vol. 5, No. 6, 483-509.
12. Капорин И.Е., Коньшин И.Н. Параллельное решение симметричных положительно-определенных систем на основе перекрывающегося разбиения на блоки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, Т, 41, N. 4, C. 515–528.
13. Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, N 7, С. 36-39.
14. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002. – 608 с.
15. Воеводин Вад. В. Визуализация и анализ профиля обращений в память // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия Математическое моделирование и про-граммирование. — 2011. — Т. 17, № 234. — С. 76–84.
16. Воеводин Вл. В., Воеводин Вад. В. Спасительная локальность суперкомпьютеров // Откры-тые системы. — 2013. — № 9. — С. 12–15.