Участник:Ivanov.kir.m/Быстрое дискретное преобразование Фурье

Алгоритм Кули-Тьюки одномерного преобразования Фурье для действительных чисел
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O (n \log n)$
Объём входных данных	$n$ действительных чисел
Объём выходных данных	$\lfloor n/2 \rfloor+1$ комплексных чисел
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O (\log n)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$n$

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого  вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем $O(N^{2})$, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность $O(N\log(N))$. Cуществует несколько различных алгоритмов для вычисления ДПФ считающимся быстрым преобразование Фурье:

• Алгоритм Кули-Тьюки [1]
• Алгоритм Гуда-Томаса [2]
• Алгоритм Бруна [3]
• Алгоритм Блюштейна [4]

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Одним из вариантов быстрого преобразования Фурье для вектора действительных чисел с размерностью равной степени двойки является алгоритм Кули-Тьюки. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет эрмитовой избыточности (Hermitian redundancy) , т.е. $out[i]$ является сопряженным с $out[n-i]$. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: вектор действительных чисел $a = (a_1,a_2,...,a_n)$.

Выходные данные: вектор комплексных чисел $b = (b_1,b_2,...,b_{\lfloor n/2 \rfloor+1})$.

Замечание: В простейшем случае алгоритм Кули-Тьюки применяется к векторам размерности степени двойки, поэтому на практике вектора иной размерности часто дополнять до ближайшей степени двойки. Такой подход делает алгоритм Кули-Тьюки не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку дополнение до степени двойки может сильно усложнить задачу.

1.3 Рекурсивное описание

Алгоритм:

1. Входной вектор $a = (a_1,a_2,...,a_n)$ преобразуется в матрицу $A$ размера $n_1 \times n_2$, где $n=n_1 \cdot n_2$ и $n_1 \lt n_2$

$A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n_1} \\ a_{n_1+1} & a_{n_1} & \cdots & a_{2n_1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(n2-1)\cdot n1+1} & a_{(n2-1)\cdot n1+1} & \cdots & a_{n2\cdot n1} \end{pmatrix}$

1. К каждой строке полученной матрицы применяется быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ) порядка $n_1$
2. Каждый элемент полученный после применения БПФ умножается на поворотные множители $exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n)$, где $m$ - номер строки, а $j$ - номер столбца
3. Полученная после шагов 1-2 матрица $A$ транспонируется
4. К каждой строке матрицы $A^T$ применяется БПФ порядка $n_2$

Замечание: Как правило все поворотные множители вычисляются заранее и хранятся в специальном массиве.

1.4 Вычислительное ядро алгоритма

В случае размерности входа равной степени двойки, вычислительным ядром алгоритма является, так называемая, "бабочка". В простейшем случае "бабочка" представляет из себя двухточечное преобразование. Рассмотрим этот случай:

На вход алгоритму подается двухэлементный вектор ‒ $v = (v[0], v[1])$. Тогда для вычисления будут происходить по следующим формулам:

$V[0] = W_2^0 v[0] + W_2^0 v[1] = v[0] + W_2^0 v[1]$

$V[1] = W_2^0 v[0] + W_2^1 v[1] = v[0] + W_2^1 v[1]$

Данный процесс удобно изобразить с помощью следующей схемы:

Для 4-х элеметного вектора $v=(v[0],v[1],v[2],v[3])$, алгоритм строится похожим образом. Сначала создаются простейшие "бабочки", а потом их результаты соединяются с противоположеной "бабочкой":

$V[0]=v[0]+W_2^0 v[2]+W_4^0(v[1]+W_2^0 v[3])$

$V[1]=v[0]-W_2^0 v[2]+W_4^1(v[1]-W_2^0 v[3])$

$V[2]=v[0]+W_2^0 v[2]-W_4^0(v[1]+W_2^0 v[3])$

$V[3]=v[0]-W_2^0 v[2]-W_4^1(v[1]-W_2^0 v[3])$

Схема в таком случае будет выглядеть следующим образом:

Для случая, когда вход не является степенью двойки, "бабочки" будут "несимментричными", но в остальном вычисления будут проходить схожим образом.

1.5 Макроструктура алгоритма

Для исходного вектора $a = (a_1,a_2,...,a_n)$ размерности $n = n_1 \cdot n_2, n_1 \lt n_2$ БПФ представляется как:

$n_2$ БПФ порядка $n_1$ $\Longrightarrow$ $n_1 \cdot n_2$ умножение комплексных чисел $\Longrightarrow$ $n_1$ БПФ порядка $n_2$

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Быстрое преобразование Фурье – Электрон. дан. – URL Быстрое преобразование Фурье (дата обращения 17.09.2016)