Участник:Nikita270a

Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^2)+O(nk^2)$
Объём входных данных	$\frac{n(n + 1)}{2}$
Объём выходных данных	$k(n + 1)$

Авторы: Алексейчук Н.Н 616, Ястребов К.С. 609.

1 Общее описание алгоритма.

Алгоритм Ланцоша ищет собвственные значения и собственные векторы для симетричной матрицы A вещественных чисел. Является итерацонным алгоритмом. Алгоритм Ланцоша использует степенной метод ($b_{k+1} = \frac{Ab_k}{||Ab_k||}$) для поиска наибольших собственных значений и векторов матриц.

В отличие от прямых алгоритмов требует мешьше памяти и мощности, что является несомненным плюсом для больших матриц.

Несмотря на свою скорость работы и экономию памяти, сначала не был популярным алгоритмом из – за недостаточной вычислительной устойчивости. В 1970 году Ojalvo и Newman [1] показали способ сделать алгоритм достаточно устойчивым. В этой же статье алгоритм был применен к расчету инженерной конструкции с большим количеством узлов, которые подвергались динамической нагрузке.

2 Математическое описание алгоритма

Памятка: Степенной метод нахождения наибольшего собственного числа матрицы можно сформулировать в предельном виде: если $b_0$ – случайный вектор, и $b_n+1 = Ab_n$, тогда для больших чисел n предел $x_n/||x_n||$ стремится к нормированному наибольшему собственному вектору.

Алгоритм Ланцоша комбинирует метод Ланцоша для нахождения крыловского подпространства и метод Релэя – Ритца.

Подпространство Крылова для степенного метода: $K_m(v,A) = span[x_1, Ax_1, A^2x_1, ..., A^{k-1}x_1]$

В качестве входных данных для алгоритма Ланцоша подаются квадратная матрица размерности $n$X$n$: $A=A^T$; а так же вектор начального приближения $b$.

Метод осуществляет поиск трехдиагональной симметричной матрицы $T_k=Q_k^TAQ_k$. Причем собственные значения $T_k$ таковы, что приближают собственные значения исходной матрицы $A$. То есть на каждом $k$-м шаге из ортонормированных векторов Ланцоша строится матрица $Q_k = [q_1,q_2,...,q_k]$ и в качестве приближенных собственных значений матрицы $A$ принимаются числа Ритца.

Из-за ошибок округления вектора $A^{k-1}x_1$, формирующие подпространство Крылова, становятся неортогональными. Чтобы решить данную прорблему, проводят переортогонализацию методом Грамма-Шмидта.

3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром данного алгоритма являются следующие шаги:

• 1. $Aq=( \sum\nolimits_{i=^n}a_{1i}q_i, \sum\nolimits_{i=2}^na_{2i}q_i, ..., \sum\nolimits_{i=1}^na_{ni}q_i)$.

• 2. $z=z-\sum\nolimits_{i=1}^{k}(z^Tq_i)q_i.$

В данном случае первая операция выполняет умножение симметричной матрицы $A$ размерности $n$X$n$ на $n$-мерный вектор $q$, вследствие чего вычислительная сложность выполнения заключается в $n^2$ умножений и $n^2-n$ сложений. Второе действие является процессом ортогонализации Грама-Шмидта. В последнем действии вычисляются $k^2n+k(n+2)$ умножений и $k^2n + k(n + 1) + 2$ операций сложения.

4 Макроструктура алгоритма

• 1. Скалярное произведение: $(x,y)$.

• 2. Суммирование: $x+\alpha y$.

5 Схема

Input: A, b (random vector with unit norm)

$\begin{align} q_1 = b/||b||_2, \beta_0 = 0, q_0 = 0 \\ j = 1 ,...,k \\ q_1&=b/||b||,\beta_0=0,q_o=0. \\ z&=Aq_j, \\ \alpha_j&=q_j^Tz, \\ z&=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}, \\ \beta&=||z||,\\ q_{j+1}&=z/\beta_j, \quad j \in [1, k]. \end{align}$

6 Вычислительная сложность

Количество операций складывается из количества операций для классического метода Ланцоша[2] и и количества операций для переортогонализации методом грамма-Шмидта[3].

Итоговая сложность составляет $O(n^2)+O(nk^2)$.

7 Информационный граф

8 Входные и выходные данные

На вход принимается сама матрица $A \in R^{n \times n}$, случайный вектор $b$ (впрочем возможен вариант, при котором этот вектор генерируется случайным образом). Ввиду симметричности входной матрицы достаточно передать лишь ее верхнюю треугольную матрицу, что дает объем входных данных $\frac{n(n + 1)}{2}$.

Выходными данными для $j$ой итерации являются вектор $Aq_j$ и собственное число $\lambda$. Общий объем выходных данных $k(n+1)$.

9 Свойства алгоритма

Если $A$ эрмитова матрица, то алгоритм Ланцоша и Bi-Lanczos сходятся к одинаковым трехдиагональным матрицам ритца[4].

При реализации классического алгоритма Ланцоша возникает большая погрешность при округлении. Вариант с полной переортогонализацией позволяет избегать больших погрешностей, однако является более ресурсоемким. Существует промежуточный вариант с частичной переортогонализацией.

Алгоритм может завершить свою работу досрочно, когда найденные собственные значения будут достаточно близки к целевым.

10 Реусурс параллелизма алгоритма

Хотя алгоритм является итерационным, возможно распараллелить внутри каждой итерации умножение матрицы на вектор и процесс переортогонализации Грамма-Шмидта.

Процесс умножения матриц matvec можно распараллелить несколькими способами[5].

11 Библиотеки реализующие алгоритм

The IETL Project http://www.comp-phys.org/software/ietl/ C++

NAG Library http://www.nag.com/content/nag-library C, C++, Fortran, C#, MATLAB, R

ARPACK https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/arpack/arpack.html MATLAB

GrapLab https://turi.com/products/create/open_source.html C++

С частичной переортаганализацией

LANSO/PLANSO http://web.cs.ucdavis.edu/~bai/ET/lanczos_methods/overview_PLANSO.html Fortran (уже распараллелена)

12 Литература

Ojalvo, I.U. and Newman, M., "Vibration modes of large structures by an automatic matrix-reduction method", AIAA J., 8 (7), 1234–1239 (1970).