Участник:Екатерина/Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 119 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
Авторы: Таратута Екатерина (1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 2.7), Жайлауова Шынар (1.2, 1.7, 1.9, 1.10)
 
=Свойства и структура алгоритма=
 
=Свойства и структура алгоритма=
 
==Общее описание алгоритма==
 
==Общее описание алгоритма==
Строка 16: Строка 17:
 
:'''Определение 1.''' Два объекта <math>p_i</math> и <math>p_j</math> будут соседями, если они значительно близки друг к другу, то есть <math>p_i</math> и <math>p_j</math> являются соседями, если <math>sim(p_i, p_j)\geq \theta</math>.
 
:'''Определение 1.''' Два объекта <math>p_i</math> и <math>p_j</math> будут соседями, если они значительно близки друг к другу, то есть <math>p_i</math> и <math>p_j</math> являются соседями, если <math>sim(p_i, p_j)\geq \theta</math>.
  
−
:Мера схожести пары точек <math>sim(p_i, p_j)</math> может быть основана на евклидовом расстоянии, коэффициенте Жаккарда или на какой-либо другой неметрической функции схожести. Поэтому две точки <math>p_i</math> и <math>p_j</math> будут соседями, если <math>sim(p_i, p_j)\geq \theta</math>. Предполагается, что мера <math>sim</math> принимает значения от 0 до 1, при этом чем ближе значение меры к 1, тем больше схожи точки. <math>\theta</math> - определенный пользователем параметр, который используется для контроля того, насколько похожи должны быть пары точек, чтобы считаться соседями. Если <math>\theta</math> равно 1, то соседями будут только идентичные точки, если же 0, то соседями может быть любая произвольная пара точек. В зависимости от желаемой степени близости пользователь выбирает пороговое значение параметра <math>\theta</math>.
+
:Мера схожести пары объектов <math>sim(p_i, p_j)</math> может быть основана на евклидовом расстоянии, коэффициенте Жаккарда или на какой-либо другой неметрической функции схожести. Предполагается, что мера <math>sim</math> принимает значения от 0 до 1, при этом чем ближе значение меры к 1, тем больше схожи точки. Чаще всего используется мера схожести, основанная на коэффициенте Жаккарда (Jaccard coefficient)<ref>Richard O. Duda and Peter E. Hard. Pattern  Classification  and  Scene  Analysis. A Wiley-Interscience Publication, New York, 1973.</ref>:  <math>sim(p_i,p_j) = \frac{|p_i\cap p_j|}{|p_i\cup p_j|}</math>, где <math>|p_i|</math> - количество атрибутов в <math>p_i</math>. Чем больше атрибутов в <math>p_i</math> и <math>p_j</math> похожи, тем больше значение <math>|p_i\cap p_j|</math>. Деление его на <math>|p_i\cup p_j|</math> гарантирует, что значение <math>\theta</math> окажется в промежутке от 0 до 1. Таким образом уравнение вычисляет похожесть двух объектов на основе схожести атрибутов, входящих в них.
−
:Одно из возможных определений функции <math>sim</math>, определение, основанное на коэффициенте Жаккарда (Jaccard coefficient)<ref>Richard O. Duda and Peter E. Hard. Pattern  Classification  and  Scene  Analysis. A Wiley-Interscience Publication, New York, 1973.</ref>. То есть сходство двух множеств <math>T_1</math> и <math>T_2</math> означает следующее <math>sim(T_1,T_2) = \frac{|T_1\cap T_2|}{|T_1\cup T_2|}</math>, где <math>|T_i|</math> - количество предметов в <math>T_i</math>. Чем больше элементов в <math>T_1</math> и <math>T_2</math> похожи, тем больше значение <math>|T_1\cap T_2|</math>. Деление его на <math>|T_1\cup T_2|</math> гарантирует, что значение <math>\theta</math> окажется в промежутке от 0 до 1. Таким образом уравнение вычисляет похожесть двух множеств на основе похожести элементов, входящих в них.
+
−
: <math>link(p_i, p_j)</math> - функция связи, определяемая как число общих соседей между точками <math>p_i</math> и <math>p_j</math>. Из определения следует, что чем больше значение функции связи, тем вероятнее, что точки <math>p_i</math> и <math>p_j</math> принадлежат одному кластеру.
+
:'''Определение 2.''' Назовем функцией связи между объектами функцию <math>link(p_i, p_j)</math>, определяемую как число общих соседей между объектами <math>p_i</math> и <math>p_j</math>. Из определения следует, что чем больше значение функции связи, тем вероятнее, что объекты <math>p_i</math> и <math>p_j</math> принадлежат одному кластеру.
−
: <math>link[C_i, C_j] = \sum_{\begin{smallmatrix}p_q\in C_i,\; p_r\in C_j\end{smallmatrix}}^{ } link(p_{q},p_r)</math> - хранит число связей между точками кластеров  <math>C_i</math>  и  <math>C_j</math>.
+
:'''Определение 3.''' Назовем функцией связи между кластерами функцию <math>link[C_i, C_j] = \sum_{\begin{smallmatrix}p_q\in C_i,\; p_r\in C_j\end{smallmatrix}}^{ } link(p_{q},p_r)</math>, хранящую число связей между объектами кластеров  <math>C_i</math>  и  <math>C_j</math>.
 +
 
 +
:'''Определение 4.''' Целевая функция качества, использующаяся при выборе кластеров для объединения:
 +
:<math> g(C_i, C_j) = \frac{link[C_i,C_j]}{(n_i + n_j)^{1 + 2f(\theta )} - n_i^{1+2f(\theta )} - n_j^{1+2f(\theta )}}</math>,  где <math>n_i</math> - число объектов в кластере <math>C_i</math>, функция <math>f(\theta )</math> выбирается пользователем, обычно <math>f(\theta ) = \frac{\theta - 1}{\theta + 1}</math> , <math>n_i^{1+2f(\theta )}</math> - ожидаемое число связей между парами объектов кластера <math>C_i</math>.
 +
 
 +
:'''Определение 5.''' Симметричная матрица <math>A</math> размерности <math>n</math> называется матрицей связей, где элемент матрицы <math>a_{ij} = link(p_i,p_j), i = \overline{1,n}, j = \overline{1,n}</math>
  
 
==Вычислительное ядро алгоритма==
 
==Вычислительное ядро алгоритма==
 
:Основная вычислительная нагрузка в алгоритме приходится на умножение матриц при вычислении числа связей. Оно имеет квадратичную сложность.  
 
:Основная вычислительная нагрузка в алгоритме приходится на умножение матриц при вычислении числа связей. Оно имеет квадратичную сложность.  
−
:Также квадратичную сложность имеет процесс обновления локальной и глобальной куч после объединения двух кластеров в один.
+
:Также большую вычислительную нагрузку дает цикл, в котором обновляются локальная и глобальная кучи после объединения двух кластеров в один.
  
 
==Макроструктура алгоритма==
 
==Макроструктура алгоритма==
−
Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют <math>O(n^2\log n)</math> обновлений содержимого локальной и глобальной куч.
+
Как написано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют вычисление связей между объектами и объединение кластеров.
  
 
==Схема реализации последовательного алгоритма==
 
==Схема реализации последовательного алгоритма==
 
:Алгоритм иерархической кластеризации ROCK представлен ниже в виде двух процедур: собственно кластеризации и вычисления связей между точками.   
 
:Алгоритм иерархической кластеризации ROCK представлен ниже в виде двух процедур: собственно кластеризации и вычисления связей между точками.   
 
===Кластеризация===
 
===Кластеризация===
−
:На вход алгоритм принимает некий набор <math>n</math> точек <math>S</math>. Кроме того, заданное значение <math>k</math> кластеров желаемого разбиения. Изначально каждая точка является отдельным кластером. На шаге 1 вычисляется количество связей между всеми парами точек. На шагах 2 и 3 для каждого <math>s</math> строится локальная куча <math>q[s]</math>. Локальная куча <math>q[s]</math> содержит те кластеры <math>t</math>, для которых <math>link[s,t]</math> отлична от нуля, причем кластеры в куче упорядочены в порядке убывания, на основе функции их схожести <math>g(s,t)</math>. На шаге 4 вычисляется глобальная куча <math>Q</math>, содержащая все текущие кластеры, упорядоченные в порядке убывания на основе <math>g(s,max(q[s]))</math>. Таким образом на каждом шаге лучший кластер в <math>Q</math> и соответствующий ему максимальный кластер из <math>q</math> наилучшая пара кластеров для объединения их в один кластер.
+
:На вход алгоритм принимает некий набор <math>n</math> точек <math>S</math>. Кроме того, заданное значение <math>k</math> кластеров желаемого разбиения. Изначально каждая точка является отдельным кластером. На шаге 1 вычисляется количество связей между всеми парами точек. На шагах 2 и 3 для каждого <math>s</math> строится локальная куча <math>q[s]</math>. Локальная куча <math>q[s]</math> содержит те кластеры <math>t</math>, для которых <math>link[s,t]</math> отлична от нуля, причем кластеры в куче упорядочены в порядке убывания, на основе целевой функции качества <math>g(s,t)</math>. На шаге 4 вычисляется глобальная куча <math>Q</math>, содержащая все текущие кластеры, упорядоченные в порядке убывания на основе <math>g(s,max(q[s]))</math>. Таким образом на каждом шаге лучший кластер в <math>Q</math> и соответствующий ему максимальный кластер из <math>q</math> наилучшая пара кластеров для объединения их в один кластер.
 
:На шаге 5 начинает выполняться цикл <math>while</math>, до тех пор, пока в глобальной куче не останется только <math>k</math> кластеров. На каждой итерации <math>while</math>-цикла на шагах 6-9 из <math>Q</math> извлекается лучший кластер <math>u</math> и соответствующий ему максимальный кластер <math>v</math> из локальной кучи и удаляется из <math>Q</math>, так как он будет объединен с <math>u</math>, и больше в ней не нужен. Далее кластеры <math>u</math> и <math>v</math> объединяются в новый кластер <math>w</math>.
 
:На шаге 5 начинает выполняться цикл <math>while</math>, до тех пор, пока в глобальной куче не останется только <math>k</math> кластеров. На каждой итерации <math>while</math>-цикла на шагах 6-9 из <math>Q</math> извлекается лучший кластер <math>u</math> и соответствующий ему максимальный кластер <math>v</math> из локальной кучи и удаляется из <math>Q</math>, так как он будет объединен с <math>u</math>, и больше в ней не нужен. Далее кластеры <math>u</math> и <math>v</math> объединяются в новый кластер <math>w</math>.
 
:Далее на шагах 10-15 в цикле <math>for</math> для каждого кластера, который содержит элементы <math>u</math> и <math>v</math> в своей локальной куче, они оттуда удаляются и заменяются на новый кластер <math>w</math>. Для <math>w</math> создается новая локальная куча.
 
:Далее на шагах 10-15 в цикле <math>for</math> для каждого кластера, который содержит элементы <math>u</math> и <math>v</math> в своей локальной куче, они оттуда удаляются и заменяются на новый кластер <math>w</math>. Для <math>w</math> создается новая локальная куча.
Строка 62: Строка 68:
  
 
===Вычисление связей===
 
===Вычисление связей===
−
:Для вычисления связи между всеми парами точек в <math>S</math> рассматривается матрица смежности <math>A</math> размера <math>n*n</math>, где <math>A[i,j]</math> равна 1 или 0 если <math>i</math> и <math>j</math> являются или не являются соседями соответственно. В результате умножения <math>A*A</math> в позиции <math>A[i,j]</math> получим количество связей между <math>i</math> и <math>j</math>.
+
:Для вычисления связи между всеми парами точек в <math>S</math> рассматривается матрица смежности <math>A</math> размера <math>n*n</math>, где <math>A[i,j]</math> равна 1 или 0, если <math>i</math> и <math>j</math> являются или не являются соседями соответственно. В результате умножения <math>A*A</math> в позиции <math>A[i,j]</math> получим количество связей между <math>i</math> и <math>j</math>. Для умножения матриц использовался алгоритм Штрассена.
 
<math>
 
<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
Строка 83: Строка 89:
 
*Инициализация глобальной кучи выполняется за время <math>O(n)</math>.
 
*Инициализация глобальной кучи выполняется за время <math>O(n)</math>.
 
*Инициализация локальной кучи также требует <math>O(n)</math>.
 
*Инициализация локальной кучи также требует <math>O(n)</math>.
−
*Связи между парой точек можно вычислить за <math>O(n^2 m_\alpha)</math> шагов, где <math>m_\alpha</math> - среднее число связей.
+
*Связи между парой точек можно вычислить за <math>O(n*n^{2.37})</math> шагов, где сложность <math>O(n^{2.37})</math> - сложность умножения матриц алгоритмом Штрассена. Но это в случае, когда все являются соседями всем. Однако на практике среднее число соседей <math>m_\alpha </math> и максимальное число соседей <math>m_m</math> оказывается значительно меньше <math>n</math>. С учетом этих параметров сложность можно записать как <math>O(n m_\alpha m_m)</math>.
 
*В процедуре кластеризации основные вычисления происходят в цикле <math>while</math>. Сам цикл выполняется <math>O(n)</math> раз. Внутренний <math>for</math>-цикл доминирует над сложностью в <math>while</math>-цикле. Его сложность <math>O(n\log n)</math>, так как размер каждой очереди в худшем случае <math>n</math> и новый объединенный кластер <math>w</math> может нуждаться в <math>O(n)</math> локальных очередей. Следовательно весь <math>while</math>-цикл выполняется за <math>O(n^2\log n)</math>.
 
*В процедуре кластеризации основные вычисления происходят в цикле <math>while</math>. Сам цикл выполняется <math>O(n)</math> раз. Внутренний <math>for</math>-цикл доминирует над сложностью в <math>while</math>-цикле. Его сложность <math>O(n\log n)</math>, так как размер каждой очереди в худшем случае <math>n</math> и новый объединенный кластер <math>w</math> может нуждаться в <math>O(n)</math> локальных очередей. Следовательно весь <math>while</math>-цикл выполняется за <math>O(n^2\log n)</math>.
 
:Время работы ROCK-алгоритма равна <math>O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)</math>, где <math>m_m</math> - максимально возможное количество соседей, <math>m_\alpha</math> - среднее число соседей, <math>n</math> - количество объектов.
 
:Время работы ROCK-алгоритма равна <math>O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)</math>, где <math>m_m</math> - максимально возможное количество соседей, <math>m_\alpha</math> - среднее число соседей, <math>n</math> - количество объектов.
  
 
==Информационный граф==
 
==Информационный граф==
 +
:Опишем вершины графа алгоритма:
 +
* <math>s_i</math> - входные данные.
 +
* <math>CML</math> - процедура, вычисляющая матрицу связей.
 +
* <math>BLH</math> - функция, строящая начальную локальную очередь для объекта <math>s_i</math>. 
 +
* <math>BGH</math> - строит начальную глобальную очередь входных объектов.
 +
* <math>EM</math> - достает первый кластер из кучи.
 +
* <math>DL</math> - удаляет кластер из кучи.
 +
* <math>MG</math> - производит слияние двух кластеров.
 +
* <math>L</math> - сумма двух чисел.
 +
* <math>IN</math> - добавляет в  кучу новый элемент учитывая целевую функцию качества.
 +
* <math>U</math> - обновление кучи учитывая целевую функцию качества.
 +
* <math>FR</math> - удаление кучи.
 +
[[File:4.jpg]]
 +
[[File:5.jpg]]
 +
:Как видно из графа, алгоритм имеет довольно много узких мест. CML - будет записывать данные в одну и ту же матрицу. BGH - функция, строящая глобальную очередь из объектов. Вообще говоря части функций CML и BGH можно распараллелить изнутри, но об этом в следующем разделе.
 +
:Также в программе есть вложенные циклы. Внутренний цикл мы можем выполнять параллельно, но вынуждены на каждой итерации делать синхронизацию. Внешний же цикл распараллелить не получится, так как там находятся зависимые по данным операции.
 +
 
==Ресурс параллелизма алгоритма==
 
==Ресурс параллелизма алгоритма==
 +
:Как видно из графа алгоритма, в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей довольно сильная зависимость по данным. Параллельно обработать можно некоторые отдельные участки кода и только при больших объемах входных данных.
 +
:В частности можно выполнять параллельно построение начальной локальной кучи (функция <math>build\_local\_heap</math>). Т.е. для входа размерности <math>n</math> и <math>p</math> процессов, каждый посчитает <math>\frac{n}{p}</math> локальных куч.
 +
:Еще можно выполнять параллельно цикл, связанный обновлением матрицы связей, локальной и глобальной кучи после проведения операции слияния. Но после каждой итерации необходимо делать барьерную синхронизацию для операции <math>update</math>, которая обновляет глобальную кучу.
 +
:Как видно из пункту 1.6 сложность последовательного алгоритма была равна <math>O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)</math>. С учетом распараллеливания описанных выше участков кода на <math>p</math> процессов, теоретически можно получить время выполнения <math>O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})</math>.
 +
 +
:Также стоит отметить, что можно распараллелить процедуру <math>compute\_links</math>, которая умножает матрицы алгоритмом Штрассена. Данный алгоритм имеет смысл выполнять параллельно только если порядок матрицы не менее 1287<ref>Малашонок Г. И., Аветисян А. И., Валеев Ю. Д., Зуев М. С.: Параллельные алгоритмы компьютерной алгебры, Труды Института системного программирования РАН, Выпуск 2, том 8, 2004 </ref>.
 +
:Функции <math>build\_local\_heap</math> и <math>build\_global\_heap</math> содержат в себе задачу сортировки, которую также можно выполнить параллельно согласно http://www.intuit.ru/studies/courses/1156/190/lecture/4958<ref>http://www.intuit.ru/studies/courses/1156/190/lecture/4958</ref> или М. В. Якобовский "Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие"<ref>Якобовский М.В. Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие / Предисл.: В. А. Садовничий. – М.: Издательство Московского университета, 2013. – 328 с., илл. – (Серия «Суперкомпьютерное образование») ISBN 978-5-211-06382-2</ref>.
 +
 +
:Их распараллеливание также может дать некоторое ускорение выполнению алгоритма, но обе функции выполняются ровно один раз.
 +
 
==Входные и выходные данные алгоритма==
 
==Входные и выходные данные алгоритма==
−
:'''Входные данные:''' на вход подается <math>n</math> объектов и <math>k</math> - количество кластеров, на которое необходимо разделить объекты.
+
:'''Процедура <math>compute\_links()</math>:'''
−
:'''Выходные данные:'''
+
:*'''Входные данные:''' на вход подается матрица <math>A</math> размера <math>n\times r</math>, где <math>n</math> - число объектов, <math>r</math> - количество признаков у объектов. Элемент <math>a[i,j] = 1:</math> если <math>i</math>-ый объект обладает <math>j</math>-ым атрибутом, иначе  <math>a[i,j] = 0</math>.
 +
:*'''Объем данных:''' <math>n*r</math>.
 +
:*'''Выходные данные:''' симметричная матрица связей <math>B</math> размера <math>n\times n</math>. Элемент <math>b[i,j]:</math> указывает на количество связей между соответствующими объектами.
 +
:*'''Объем данных:''' <math>\frac{n(n-1)}{2}</math>. В общем случае не у каждой пары точек будут связи. Поэтому ожидаемый объем данных может быть намного меньше, а именно <math>O(min\{nm_mm_a, n^2\})</math>, где <math>m_m</math> - максимальное число соседей произвольного объекта, <math>m_a</math> - среднее значение числа соседей произвольного объекта.
 +
 
 +
:'''Процедура кластеризации:'''
 +
:*'''Входные данные:'''  на вход подается симметричная матрица связей <math>B</math> размера <math>n\times n</math>. Элемент <math>b[i,j]:</math> указывает на количество связей между соответствующими объектами.
 +
:*'''Объем данных:'''  <math>\frac{n(n-1)}{2}</math>. Ожидаемый объем: <math>O(min\{nm_mm_a, n^2\})</math>.
 +
:*'''Выходные данные:''' массив объектов, в котором значением i-го объекта является номер кластера, к которому он был приписан.
 +
:*'''Объем данных:''' <math>O(min\{nm_mm_a, n^2\})</math>.
  
 
==Свойства алгоритма==
 
==Свойства алгоритма==
 +
:Отношение последовательной и параллельной сложностей: <math>\frac{O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)}{O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})}</math>.
 +
:Алгоритм является детерменированным.
 +
:Вычислительная сложность: <math>\frac{O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)}{2n+2}</math>.
 +
:ROCK-алгоритм хорошо подходит для категорийных данных, таких как ключевые слова, булевские атрибуты, перечисления и т.п. Он хорошо масштабируем, авторы алгоритма создавали его так, чтобы он хорошо работал на больших объемах данных.
  
 
=Программная реализация алгоритма=
 
=Программная реализация алгоритма=
Строка 100: Строка 146:
 
==Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма==
 
==Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма==
 
==Масштабируемость алгоритма и его реализации==
 
==Масштабируемость алгоритма и его реализации==
 +
В алгоритме есть три параллельные области:
 +
*построение матрицы связей;
 +
*построение локальных куч;
 +
*for-цикл, реализующий обновление всех куч при слиянии двух кластеров.
 +
С учетом распараллеливания описанных выше участков кода на <math>p</math> процессов, теоретически можно получить время выполнения <math>O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})</math>.
 +
 +
Программа тестировалась на IBM pSeries 690 HPC Regatta. Ниже в таблице представлены результаты работы программы на 1, 2, 4, 8, 16 потоках:
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
!данные/потоки||1||2||4||8||16
 +
|-
 +
|128||0.84||0.54||0.46||0.38||0.30
 +
|-
 +
|256||7.10||3.77||2.07||1.87||0.95
 +
|-
 +
|512||67.09||34.66||17.35||10.50||5.54
 +
|-
 +
|1024||610.29||310.55||157.86||83.59||45.18
 +
|}
 +
 +
[[File:graphi.jpg]]
 +
 
==Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма==
 
==Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма==
 
==Выводы для классов архитектур==
 
==Выводы для классов архитектур==
 
==Существующие реализации алгоритма==
 
==Существующие реализации алгоритма==
−
:Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей реализован в библиотеке CBA в июне 2016 года.
+
:Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей реализован в библиотеке CBA<ref>https://github.com/cran/cba/blob/master/R/rock.r</ref> в июне 2016 года.
 +
:Также он реализован в feed4weka<ref>https://sourceforge.net/projects/feed4weka/files/</ref> - библиотеке, содержащей алгоритмы для кластеризации данных.
  
 
=Литература=
 
=Литература=

Текущая версия на 14:10, 21 ноября 2016

Авторы: Таратута Екатерина (1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 2.7), Жайлауова Шынар (1.2, 1.7, 1.9, 1.10)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Задача кластеризации заключается в следующем. Имеется множество [math]n[/math] объектов [math]S=\{s_1,\ldots,s_n\}[/math] и функция расстояния/сходства между объектами [math]\rho (x_i,x_j)[/math]. Требуется разбить множество [math]S[/math] на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из объектов, близких по метрике [math]\rho[/math], а объекты разных кластеров существенно отличались. При этом каждому объекту [math]s\in S[/math] приписывается метка(номер) кластера [math]y_i[/math].
Алгоритм кластеризации - это функция [math]f:X\to Y[/math], которая каждому объекту [math]s\in S[/math] ставит в соответствие метку кластера [math]y\in Y[/math].
Кластеризация - процесс объединения объектов, имеющих похожие характеристики, в непересекающиеся группы, называемые кластерами, так чтобы каждый кластер состоял из подобных объектов, а объекты разных кластеров отличались. При этом каждый объект характеризуется рядом признаков. Решение задачи кластеризации неоднозначно. Поэтому существует несколько типов алгоритмов кластеризации:
  • эвристические графовые алгоритмы; [1]
  • статистические алгоритмы; [1]
  • иерархические алгоритмы.
Иерархические алгоритмы кластеризации строят не одно разбиение на непересекающиеся классы, а систему вложенных разбиений. Различают 2 основных типа: дивизимные[1] и алгомеративные алгоритмы. В алгомеративной иерархической кластеризации объекты объединяются во все более и более крупные кластеры.
Одним из алгоритмов алгомеративной иерархической кластеризации является алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей (robust clustering using links, ROCK), предложенный Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories)[2] в 2000 году. Этот алгоритм отлично подходит для объектов с категориальными признаками, то есть признаками, принимающими свои значения из некоторого множества.
В 2005 году была предложена быстрая версия этого ROCK-алгоритма "Quick ROCK"(QROCK).[3]

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: множество объектов [math]P = \{p_1, \ldots , p_n\}[/math], целое число [math]k[/math], пороговое значение [math]\theta[/math], где [math]0\leq\theta\leq 1[/math].
Необходимо разделить множество [math]P[/math] на [math]k[/math] непересекающиеся кластеры.
Определение 1. Два объекта [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] будут соседями, если они значительно близки друг к другу, то есть [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] являются соседями, если [math]sim(p_i, p_j)\geq \theta[/math].
Мера схожести пары объектов [math]sim(p_i, p_j)[/math] может быть основана на евклидовом расстоянии, коэффициенте Жаккарда или на какой-либо другой неметрической функции схожести. Предполагается, что мера [math]sim[/math] принимает значения от 0 до 1, при этом чем ближе значение меры к 1, тем больше схожи точки. Чаще всего используется мера схожести, основанная на коэффициенте Жаккарда (Jaccard coefficient)[4]: [math]sim(p_i,p_j) = \frac{|p_i\cap p_j|}{|p_i\cup p_j|}[/math], где [math]|p_i|[/math] - количество атрибутов в [math]p_i[/math]. Чем больше атрибутов в [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] похожи, тем больше значение [math]|p_i\cap p_j|[/math]. Деление его на [math]|p_i\cup p_j|[/math] гарантирует, что значение [math]\theta[/math] окажется в промежутке от 0 до 1. Таким образом уравнение вычисляет похожесть двух объектов на основе схожести атрибутов, входящих в них.
Определение 2. Назовем функцией связи между объектами функцию [math]link(p_i, p_j)[/math], определяемую как число общих соседей между объектами [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math]. Из определения следует, что чем больше значение функции связи, тем вероятнее, что объекты [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] принадлежат одному кластеру.
Определение 3. Назовем функцией связи между кластерами функцию [math]link[C_i, C_j] = \sum_{\begin{smallmatrix}p_q\in C_i,\; p_r\in C_j\end{smallmatrix}}^{ } link(p_{q},p_r)[/math], хранящую число связей между объектами кластеров [math]C_i[/math] и [math]C_j[/math].
Определение 4. Целевая функция качества, использующаяся при выборе кластеров для объединения:
[math] g(C_i, C_j) = \frac{link[C_i,C_j]}{(n_i + n_j)^{1 + 2f(\theta )} - n_i^{1+2f(\theta )} - n_j^{1+2f(\theta )}}[/math], где [math]n_i[/math] - число объектов в кластере [math]C_i[/math], функция [math]f(\theta )[/math] выбирается пользователем, обычно [math]f(\theta ) = \frac{\theta - 1}{\theta + 1}[/math] , [math]n_i^{1+2f(\theta )}[/math] - ожидаемое число связей между парами объектов кластера [math]C_i[/math].
Определение 5. Симметричная матрица [math]A[/math] размерности [math]n[/math] называется матрицей связей, где элемент матрицы [math]a_{ij} = link(p_i,p_j), i = \overline{1,n}, j = \overline{1,n}[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная нагрузка в алгоритме приходится на умножение матриц при вычислении числа связей. Оно имеет квадратичную сложность.
Также большую вычислительную нагрузку дает цикл, в котором обновляются локальная и глобальная кучи после объединения двух кластеров в один.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как написано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют вычисление связей между объектами и объединение кластеров.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Алгоритм иерархической кластеризации ROCK представлен ниже в виде двух процедур: собственно кластеризации и вычисления связей между точками.

1.5.1 Кластеризация

На вход алгоритм принимает некий набор [math]n[/math] точек [math]S[/math]. Кроме того, заданное значение [math]k[/math] кластеров желаемого разбиения. Изначально каждая точка является отдельным кластером. На шаге 1 вычисляется количество связей между всеми парами точек. На шагах 2 и 3 для каждого [math]s[/math] строится локальная куча [math]q[s][/math]. Локальная куча [math]q[s][/math] содержит те кластеры [math]t[/math], для которых [math]link[s,t][/math] отлична от нуля, причем кластеры в куче упорядочены в порядке убывания, на основе целевой функции качества [math]g(s,t)[/math]. На шаге 4 вычисляется глобальная куча [math]Q[/math], содержащая все текущие кластеры, упорядоченные в порядке убывания на основе [math]g(s,max(q[s]))[/math]. Таким образом на каждом шаге лучший кластер в [math]Q[/math] и соответствующий ему максимальный кластер из [math]q[/math] наилучшая пара кластеров для объединения их в один кластер.
На шаге 5 начинает выполняться цикл [math]while[/math], до тех пор, пока в глобальной куче не останется только [math]k[/math] кластеров. На каждой итерации [math]while[/math]-цикла на шагах 6-9 из [math]Q[/math] извлекается лучший кластер [math]u[/math] и соответствующий ему максимальный кластер [math]v[/math] из локальной кучи и удаляется из [math]Q[/math], так как он будет объединен с [math]u[/math], и больше в ней не нужен. Далее кластеры [math]u[/math] и [math]v[/math] объединяются в новый кластер [math]w[/math].
Далее на шагах 10-15 в цикле [math]for[/math] для каждого кластера, который содержит элементы [math]u[/math] и [math]v[/math] в своей локальной куче, они оттуда удаляются и заменяются на новый кластер [math]w[/math]. Для [math]w[/math] создается новая локальная куча.
На 17 шаге новый кластер добывляется в локальную кучу, а на 18 шаге уничтожаются локальные кучи для [math]u[/math] и [math]v[/math].

[math] \begin{align} &\mathbf{procedure}\ cluster (S,k) \\ &\mathbf{begin} \\ &1.\ \ link := compute\_links(S) \\ &2.\ \ \mathbf{for\ each}\ s\in S\ \mathbf{do} \\ &3.\ \ \ \ q[s] := build\_local\_heap(link,s) \\ &4.\ \ Q := build\_global\_heap(S,q) \\ &5.\ \ \mathbf{while}\ size(Q)\ \gt k\ \mathbf{do}\ \{ \\ &6.\ \ \ \ u := extract\_max(Q) \\ &7.\ \ \ \ v := max(q[u]) \\ &8.\ \ \ \ delete(Q,v) \\ &9.\ \ \ \ w := merge(u,v) \\ &10.\ \ \ \mathbf{for\ each}\ x\ \in \ q[u]\ \cup \ q[v]\\ &11.\ \ \ \ \ link[x,w] := link[x,u]\ +\ link[x,v] \\ &12.\ \ \ \ \ delete(q[x],u);\ delete(q[x],v) \\ &13.\ \ \ \ \ insert(q[x],w,g(x,w));\ insert(q[w],x,g(x,w) \\ &14.\ \ \ \ \ update(Q,x,q[x]) \\ &15.\ \ \ \} \\ &16.\ \ \ insert(Q,w,q[w]) \\ &17.\ \ \ deallocate(q[u]);\ deallocate(q[v]) \\ &18.\ \ \} \\ &\mathbf{end} \end{align} [/math]

1.5.2 Вычисление связей

Для вычисления связи между всеми парами точек в [math]S[/math] рассматривается матрица смежности [math]A[/math] размера [math]n*n[/math], где [math]A[i,j][/math] равна 1 или 0, если [math]i[/math] и [math]j[/math] являются или не являются соседями соответственно. В результате умножения [math]A*A[/math] в позиции [math]A[i,j][/math] получим количество связей между [math]i[/math] и [math]j[/math]. Для умножения матриц использовался алгоритм Штрассена.

[math] \begin{align} &\mathbf{procedure}\ compute\_links(S) \\ &\mathbf{begin} \\ &1.\ \ Compute\ nbrlist[i]\ for\ every\ point\ i\ in\ S \\ &2.\ \ Set\ link[i,j]\ to\ be\ zero\ for\ all\ i,j \\ &3.\ \ \mathbf{for}\ i := 1\ \mathbf{to}\ n\ \mathbf{do}\ \{ \\ &4.\ \ \ \ N := nbrlist[i] \\ &5.\ \ \ \ \mathbf{for}\ j := 1\ \mathbf{to}\ |N| - 1\ \mathbf{do} \\ &6.\ \ \ \ \ \ \mathbf{for}\ l := j+1\ \mathbf{to}\ |N|\ \mathbf{do} \\ &7.\ \ \ \ \ \ \ \ link[N[j],N[l]] := link[N[j],N[l]]+1 \\ &8.\ \ \} \\ &\mathbf{end} \end{align} [/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Вычислительная сложность алгоритма складывается из сложности инициализации, вычисления связей и собственно кластеризации.
  • Инициализация глобальной кучи выполняется за время [math]O(n)[/math].
  • Инициализация локальной кучи также требует [math]O(n)[/math].
  • Связи между парой точек можно вычислить за [math]O(n*n^{2.37})[/math] шагов, где сложность [math]O(n^{2.37})[/math] - сложность умножения матриц алгоритмом Штрассена. Но это в случае, когда все являются соседями всем. Однако на практике среднее число соседей [math]m_\alpha [/math] и максимальное число соседей [math]m_m[/math] оказывается значительно меньше [math]n[/math]. С учетом этих параметров сложность можно записать как [math]O(n m_\alpha m_m)[/math].
  • В процедуре кластеризации основные вычисления происходят в цикле [math]while[/math]. Сам цикл выполняется [math]O(n)[/math] раз. Внутренний [math]for[/math]-цикл доминирует над сложностью в [math]while[/math]-цикле. Его сложность [math]O(n\log n)[/math], так как размер каждой очереди в худшем случае [math]n[/math] и новый объединенный кластер [math]w[/math] может нуждаться в [math]O(n)[/math] локальных очередей. Следовательно весь [math]while[/math]-цикл выполняется за [math]O(n^2\log n)[/math].
Время работы ROCK-алгоритма равна [math]O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)[/math], где [math]m_m[/math] - максимально возможное количество соседей, [math]m_\alpha[/math] - среднее число соседей, [math]n[/math] - количество объектов.

1.7 Информационный граф

Опишем вершины графа алгоритма:
  • [math]s_i[/math] - входные данные.
  • [math]CML[/math] - процедура, вычисляющая матрицу связей.
  • [math]BLH[/math] - функция, строящая начальную локальную очередь для объекта [math]s_i[/math].
  • [math]BGH[/math] - строит начальную глобальную очередь входных объектов.
  • [math]EM[/math] - достает первый кластер из кучи.
  • [math]DL[/math] - удаляет кластер из кучи.
  • [math]MG[/math] - производит слияние двух кластеров.
  • [math]L[/math] - сумма двух чисел.
  • [math]IN[/math] - добавляет в кучу новый элемент учитывая целевую функцию качества.
  • [math]U[/math] - обновление кучи учитывая целевую функцию качества.
  • [math]FR[/math] - удаление кучи.

4.jpg 5.jpg

Как видно из графа, алгоритм имеет довольно много узких мест. CML - будет записывать данные в одну и ту же матрицу. BGH - функция, строящая глобальную очередь из объектов. Вообще говоря части функций CML и BGH можно распараллелить изнутри, но об этом в следующем разделе.
Также в программе есть вложенные циклы. Внутренний цикл мы можем выполнять параллельно, но вынуждены на каждой итерации делать синхронизацию. Внешний же цикл распараллелить не получится, так как там находятся зависимые по данным операции.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Как видно из графа алгоритма, в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей довольно сильная зависимость по данным. Параллельно обработать можно некоторые отдельные участки кода и только при больших объемах входных данных.
В частности можно выполнять параллельно построение начальной локальной кучи (функция [math]build\_local\_heap[/math]). Т.е. для входа размерности [math]n[/math] и [math]p[/math] процессов, каждый посчитает [math]\frac{n}{p}[/math] локальных куч.
Еще можно выполнять параллельно цикл, связанный обновлением матрицы связей, локальной и глобальной кучи после проведения операции слияния. Но после каждой итерации необходимо делать барьерную синхронизацию для операции [math]update[/math], которая обновляет глобальную кучу.
Как видно из пункту 1.6 сложность последовательного алгоритма была равна [math]O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)[/math]. С учетом распараллеливания описанных выше участков кода на [math]p[/math] процессов, теоретически можно получить время выполнения [math]O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})[/math].
Также стоит отметить, что можно распараллелить процедуру [math]compute\_links[/math], которая умножает матрицы алгоритмом Штрассена. Данный алгоритм имеет смысл выполнять параллельно только если порядок матрицы не менее 1287[5].
Функции [math]build\_local\_heap[/math] и [math]build\_global\_heap[/math] содержат в себе задачу сортировки, которую также можно выполнить параллельно согласно http://www.intuit.ru/studies/courses/1156/190/lecture/4958[6] или М. В. Якобовский "Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие"[7].
Их распараллеливание также может дать некоторое ускорение выполнению алгоритма, но обе функции выполняются ровно один раз.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Процедура [math]compute\_links()[/math]:
  • Входные данные: на вход подается матрица [math]A[/math] размера [math]n\times r[/math], где [math]n[/math] - число объектов, [math]r[/math] - количество признаков у объектов. Элемент [math]a[i,j] = 1:[/math] если [math]i[/math]-ый объект обладает [math]j[/math]-ым атрибутом, иначе [math]a[i,j] = 0[/math].
  • Объем данных: [math]n*r[/math].
  • Выходные данные: симметричная матрица связей [math]B[/math] размера [math]n\times n[/math]. Элемент [math]b[i,j]:[/math] указывает на количество связей между соответствующими объектами.
  • Объем данных: [math]\frac{n(n-1)}{2}[/math]. В общем случае не у каждой пары точек будут связи. Поэтому ожидаемый объем данных может быть намного меньше, а именно [math]O(min\{nm_mm_a, n^2\})[/math], где [math]m_m[/math] - максимальное число соседей произвольного объекта, [math]m_a[/math] - среднее значение числа соседей произвольного объекта.
Процедура кластеризации:
  • Входные данные: на вход подается симметричная матрица связей [math]B[/math] размера [math]n\times n[/math]. Элемент [math]b[i,j]:[/math] указывает на количество связей между соответствующими объектами.
  • Объем данных: [math]\frac{n(n-1)}{2}[/math]. Ожидаемый объем: [math]O(min\{nm_mm_a, n^2\})[/math].
  • Выходные данные: массив объектов, в котором значением i-го объекта является номер кластера, к которому он был приписан.
  • Объем данных: [math]O(min\{nm_mm_a, n^2\})[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Отношение последовательной и параллельной сложностей: [math]\frac{O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)}{O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})}[/math].
Алгоритм является детерменированным.
Вычислительная сложность: [math]\frac{O(n^2+nm_m m_\alpha + n^2\log n)}{2n+2}[/math].
ROCK-алгоритм хорошо подходит для категорийных данных, таких как ключевые слова, булевские атрибуты, перечисления и т.п. Он хорошо масштабируем, авторы алгоритма создавали его так, чтобы он хорошо работал на больших объемах данных.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

В алгоритме есть три параллельные области:

  • построение матрицы связей;
  • построение локальных куч;
  • for-цикл, реализующий обновление всех куч при слиянии двух кластеров.

С учетом распараллеливания описанных выше участков кода на [math]p[/math] процессов, теоретически можно получить время выполнения [math]O(\frac{n^2}{p}+nm_m m_\alpha + \frac{n^2\log n}{p})[/math].

Программа тестировалась на IBM pSeries 690 HPC Regatta. Ниже в таблице представлены результаты работы программы на 1, 2, 4, 8, 16 потоках:

данные/потоки 1 2 4 8 16
128 0.84 0.54 0.46 0.38 0.30
256 7.10 3.77 2.07 1.87 0.95
512 67.09 34.66 17.35 10.50 5.54
1024 610.29 310.55 157.86 83.59 45.18

Graphi.jpg

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей реализован в библиотеке CBA[8] в июне 2016 года.
Также он реализован в feed4weka[9] - библиотеке, содержащей алгоритмы для кластеризации данных.

3 Литература

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 К. В. Воронцов Лекции по алгоритмам кластеризации и многомерного шкалирования, 21 декабря 2007 года
  2. ↑ Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim: ROCK: A Robust Clustering Algorithm for Categorical Attributes, Volume 25, Issue 5, July 2000, Pages 345-366
  3. ↑ M. Duttaa, A. Kakoti Mahantab, Arun K. Pujaric QROCK: A quick version of the ROCK algorithm for clustering of categorical data
  4. ↑ Richard O. Duda and Peter E. Hard. Pattern Classification and Scene Analysis. A Wiley-Interscience Publication, New York, 1973.
  5. ↑ Малашонок Г. И., Аветисян А. И., Валеев Ю. Д., Зуев М. С.: Параллельные алгоритмы компьютерной алгебры, Труды Института системного программирования РАН, Выпуск 2, том 8, 2004
  6. ↑ http://www.intuit.ru/studies/courses/1156/190/lecture/4958
  7. ↑ Якобовский М.В. Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие / Предисл.: В. А. Садовничий. – М.: Издательство Московского университета, 2013. – 328 с., илл. – (Серия «Суперкомпьютерное образование») ISBN 978-5-211-06382-2
  8. ↑ https://github.com/cran/cba/blob/master/R/rock.r
  9. ↑ https://sourceforge.net/projects/feed4weka/files/
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:Екатерина/Алгоритм_устойчивой_кластеризации_с_использованием_связей&oldid=18750