Участник:Bormas

1 Задача

Пусть $X_1, X_2,...X_n$ - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения $F(x)$, для которой при $x \to +\infty$ имеет место следующее представление:$F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha}$, где $C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta$.

Методом статистического анализа показать, что $\lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0$ и найти коэффициенты $a_n \gt 0$.

Построить гистограмму статистики $T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n}$ для функции $F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+1)\sqrt{\ln{(x+1)}}}, x \gt 1$ и сравнить её с функцией предельного распределения.

2 Решение

Рассмотрим $\frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha}$ при $x \to \infty$ $\Rightarrow$ $F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)$, то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше

Теперь найдем $a_n$:

$\overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}$ при $x \to \infty$, $\overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n}$ $\Rightarrow$

$\ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}}$

$\ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n}$

$\alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n}$

Будем искать $\ln{a_n}$ в виде: $\ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})$, где $\ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})$

$\ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n}$

$\ln{r_n} \simeq \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}$ - подставляем это в $\ln{a_n}$

$\ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})})$

$a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}$

В частном случае (из функции распределения):

$C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2}$ - находятся путём подставления в $\overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}}$

$a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}}$