Квадратурные (кубатурные) методы численного интегрирования по отрезку (многомерному кубу): различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Sander (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Болванка») |
Sander (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | == Описание свойств и структуры алгоритма == | |
+ | |||
+ | === Общее описание алгоритма === | ||
+ | |||
+ | Численное интегрирование — приближенное вычисление значения определенного интеграла. Допустим, нам дана функция <math>f(x)</math>, определенная на отрезке или многомерном кубе, и возможность получать ее численное значение в любой из точек области определения за фиксированное время. Задача — вычислить определенный интеграл данной функции по заданной области и дать оценку погрешности вычисления. | ||
+ | |||
+ | Исторически численное интегрирование также называлось численной квадратурой, а многомерное — кубатурой. Большая советская энциклопедия определяет слово «квадратура» следующим способом: (лат. quadratura — придание квадратной формы), 1) число квадратных единиц в площади данной фигуры. 2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре. 3) Вычисление площади или интеграла. | ||
+ | |||
+ | В данной статье рассматривается семейство методов численного интегрирования, объединенные общим принципом: область интегрирования разбивается по каждой из осей на равное количество частей. В каждой из полученных маленьких областей интеграл приближается простой функцией (например, линейной), значение которой вычисляется явно (путем вычисления подынтегрального выражения в одной или нескольких точках). Ввиду линейности оператора интегрирования по областям полученные значения суммируются и представляют собой результат интегрирования. | ||
+ | |||
+ | К данному типу относятся одномерные метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), метод Гаусса, метод Гаусса-Кронрода. Часть перечисленных методов обобщается и для многомерного случая. Обобщенно все эти методы называются квадратурными. В многомерном случае они также могут называться кубатурными (это слово не несет никаких дополнительных смыслов). Также говорится, что перечисленные методы используют квадратурные (кубатурные) формулы. | ||
+ | |||
+ | Подходы, в которых область делится на не равные друг другу отрезки (кубы), называются адаптивными и не рассматриваются к данной статье. | ||
+ | |||
+ | Все перечисленные выше методы, а также подобные им могут быть объединены следующим образом: область интегрирования содержит N точек, в каждой из которых необходимо вычислить подынтегральное выражение и помножить ее на весовой коэффициент, затем данные числа складываются, и полученная сумма и представляет собой результат интегрирования. Погрешность интегрирования оценивается ровно таким же образом. |
Версия 10:56, 26 ноября 2014
1 Описание свойств и структуры алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Численное интегрирование — приближенное вычисление значения определенного интеграла. Допустим, нам дана функция [math]f(x)[/math], определенная на отрезке или многомерном кубе, и возможность получать ее численное значение в любой из точек области определения за фиксированное время. Задача — вычислить определенный интеграл данной функции по заданной области и дать оценку погрешности вычисления.
Исторически численное интегрирование также называлось численной квадратурой, а многомерное — кубатурой. Большая советская энциклопедия определяет слово «квадратура» следующим способом: (лат. quadratura — придание квадратной формы), 1) число квадратных единиц в площади данной фигуры. 2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре. 3) Вычисление площади или интеграла.
В данной статье рассматривается семейство методов численного интегрирования, объединенные общим принципом: область интегрирования разбивается по каждой из осей на равное количество частей. В каждой из полученных маленьких областей интеграл приближается простой функцией (например, линейной), значение которой вычисляется явно (путем вычисления подынтегрального выражения в одной или нескольких точках). Ввиду линейности оператора интегрирования по областям полученные значения суммируются и представляют собой результат интегрирования.
К данному типу относятся одномерные метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), метод Гаусса, метод Гаусса-Кронрода. Часть перечисленных методов обобщается и для многомерного случая. Обобщенно все эти методы называются квадратурными. В многомерном случае они также могут называться кубатурными (это слово не несет никаких дополнительных смыслов). Также говорится, что перечисленные методы используют квадратурные (кубатурные) формулы.
Подходы, в которых область делится на не равные друг другу отрезки (кубы), называются адаптивными и не рассматриваются к данной статье.
Все перечисленные выше методы, а также подобные им могут быть объединены следующим образом: область интегрирования содержит N точек, в каждой из которых необходимо вычислить подынтегральное выражение и помножить ее на весовой коэффициент, затем данные числа складываются, и полученная сумма и представляет собой результат интегрирования. Погрешность интегрирования оценивается ровно таким же образом.