Участник:Khotkin/Построение матрицы Адамара произвольного размера

Всем привет! Здесь Кирилл Хоткин и Михаил Царев делают задание по суперкомпьютерам.

Сюда тоже запилим
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^3)$
Объём входных данных	$\frac{n (n + 1)}{2}$
Объём выходных данных	$\frac{n (n + 1)}{2}$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(n)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n^2)$

Основные авторы описания: А.В.Фролов, Вад.В.Воеводин (раздел 2.2), А.М.Теплов (разделы 2.4, 2.5)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Матрица Адамара $H$ порядка $n$ представляет собой матрицу размера n×n из элементов $+1$ и $-1$, такую, что: $H \cdot H^T = n \cdot E_n,$ где $E_n$ — это единичная матрица размера n×n.

Матрицы Адамара находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (ортогональные блок-схемы), квантовой информатике и прочих областях.

Матрица Адамара остаётся матрицей Адамара при следующих преобразованиях:

• умножение строчки или столбца на −1;
• перестановка строчек или столбцов местами.

Матрицы Адамара, получаемые друг из друга многократным применением указанных выше преобразований называются эквивалентными.

Матрица Адамара называется нормализованной, если её первая строка и столбец состоят только из единиц.

Под матрицией Адамара $H_m$ подразумевается матрица порядка $2^m$

Примерами матриц Адамара различных размеров являются следующие матрицы:

$H_0 = (1);$

$H_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\1 & -1 \end{pmatrix};$

$H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & 1 &- 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$

Вообще, если $H_m$ матрица Адамара порядка $2^m$, то матрица $H_{m+1} = \begin{pmatrix} H_m & H_m \\H_m & -H_m \end{pmatrix}$ является матрицей Адамара порядка $2^{m+1}$

Кроме того, матрицу Адамара порядка $2^m$ можно получить по следующей формуле $H^{\otimes m} = H_1 \otimes ... \otimes H_1$