Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 2: Строка 2:
 
== Свойства и структура алгоритма ==
 
== Свойства и структура алгоритма ==
 
'''1.1 Общее описание алгоритма'''
 
'''1.1 Общее описание алгоритма'''
 +
 +
Матрица Адамара <math>H</math> - это квадратная матрица размера <math>n*n</math>, составленная из чисел <math>1</math> и <math>-1</math>, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:
 +
 +
<math>H*H^T = n*E_n</math>,
 +
 +
где <math>E_n</math> - это единичная матрица размера <math>n</math>. Матрицы Адамара прменяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.
  
 
'''1.2 Математическое описание алгоритма'''
 
'''1.2 Математическое описание алгоритма'''
Строка 14: Строка 20:
 
'''1.3 Вычислительное ядро алгоритма'''
 
'''1.3 Вычислительное ядро алгоритма'''
  
Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из  <math>\;N(N-1)\;</math>  присвоений значений.
+
Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из  <math>\;N^2\;</math>  присвоений значений и .
  
 
'''1.4 Макроструктура алгоритма'''
 
'''1.4 Макроструктура алгоритма'''
Строка 39: Строка 45:
 
'''1.6 Последовательная сложность алгоритма'''
 
'''1.6 Последовательная сложность алгоритма'''
  
Для заполнения  матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N(N-1)\;</math>  присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.
+
Для заполнения  матрицы <math>H</math> размера <math>N\times N</math> необходимо <math>\;N^2\;</math>  присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с ''квадратичной сложностью''.
  
 
'''1.7 Информационный граф'''
 
'''1.7 Информационный граф'''
 +
 +
Зависимость данных для матрицы размерностью <math>4*4</math> можно увидеть на рис.1.
 +
 +
[[Файл:Pic_hadamard.png|border|500px|Some text]]
  
 
'''1.8 Ресурс параллелизма алгоритма'''
 
'''1.8 Ресурс параллелизма алгоритма'''
 +
 +
Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо.
 +
Внутри каждой части происходит <math>2^{2n}-2^{2(n-1)}</math> независимых присвоений, где <math>n</math> - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге <math>n</math> равна <math>2^n</math>. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.
  
 
'''1.9 Входные и выходные данные алгоритма'''
 
'''1.9 Входные и выходные данные алгоритма'''
Строка 54: Строка 67:
  
 
'''1.10 Свойства алгоритма'''
 
'''1.10 Свойства алгоритма'''
 +
 +
Алгоритм полностью детерминирован.
  
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
== Программная реализация алгоритма ==

Версия 19:54, 15 октября 2016

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Матрица Адамара [math]H[/math] - это квадратная матрица размера [math]n*n[/math], составленная из чисел [math]1[/math] и [math]-1[/math], столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение:

[math]H*H^T = n*E_n[/math],

где [math]E_n[/math] - это единичная матрица размера [math]n[/math]. Матрицы Адамара прменяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть [math]H_N[/math] [math]-[/math] матрица Адамара порядка [math]N[/math] и [math]-H_N[/math] [math]-[/math] матрица с противоположными элементами. Тогда матрица [math]H_{2N}[/math] получается следующим образом: [math]H_{2N} = \begin{bmatrix} H_N & H_N \\ H_N & -H_N \end{bmatrix} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из [math]\;N^2\;[/math] присвоений значений и .

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы [math]H[/math]

[math]H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}[/math], где [math]i = 1..\frac{N}{2}[/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math];

затем левый нижний блок

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N[/math], [math]j = 1.. \frac{N}{2}[/math].

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N [/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math].


1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для заполнения матрицы [math]H[/math] размера [math]N\times N[/math] необходимо [math]\;N^2\;[/math] присвоений значений. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с квадратичной сложностью.

1.7 Информационный граф

Зависимость данных для матрицы размерностью [math]4*4[/math] можно увидеть на рис.1.

Some text

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Логически алгоритм можно разделить на три части, которые на каждом шаге выполняются независимо. Внутри каждой части происходит [math]2^{2n}-2^{2(n-1)}[/math] независимых присвоений, где [math]n[/math] - номер шага алгоритма, причем размерность матрицы на шаге [math]n[/math] равна [math]2^n[/math]. При этом необходимо ждать завершения предыдущего шага, то есть необходимы синхронизирующие блокировки.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: [math]N[/math] - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером [math]N\times N[/math].

Объем выходных данных: [math] N^2[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Алгоритм полностью детерминирован.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Нахождение матрицы Адамара доступно в среде MATLAB и реализовано через функцию hadamard(n).[1]

На языке Java реализован класс Hadamard не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[2].