Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Эта работа ждет рассмотрения преподавателем Дата последней правки страницы: 17.10.2016 Авторы этой статьи считают, что задание выполнено.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем в 1986 году как обобщение метода MINRES на случай систем с несимметричными матрицами.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• система линейных алгебраических уравнений вида $Ax = b$, где $A$ — невырожденная матрица размера $n$-на-$n$;
• $x_0$ - начальное приближение.

Вычисляемые данные:

• $x_k$ - приближённое решение исходной системы.

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы $Ax = b$ вектором $x_k$, который минимизирует $l_2$-норму невязки $r_k = Ax_k - b$ на подпространстве Крылова:

$K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \}$.

На каждой итерации метода решение уточняется поправкой, представленной в виде разложения по $l_2$-ортонормированному базису пространства $K_k$:

$x_k = x_0 + z_k$, где $x_0$ - некоторое начальное приближение, $z_k \in K_k$ - поправка решения.

1.2.1 Ортогонализация Арнольди

Для построения ортонормированного базиса $K_k$ метод использует процесс Арнольди.

Исходные данные:

• $v_1$, такой что $\|v_1\|_2 = 1$;
• матрица $A$ размером $n$-на-$n$.

Формула процесса:

$h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j}$, где $h_{ij} = (Av_j, v_i)$, $\quad j=1,\ldots,k$.

Алгоритм процесса:

Выполнять для $\quad j=1,\ldots,k$:

1. $h_{ij} = (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j$;
2. $\hat{v}_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i}$;
3. $h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2$;
4. $v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}}$.

При введении матричных обозначений можно записать:

1. $z_k = V_ky_k$, где $y_k \in \mathbb{R}^k$ - вектор коэффициентов;
2. $AV_k = V_kH_k + h_{k+1k}v_{k+1} e_k^T = V_{k+1}\overline{H}_k$, где $V_k = [v_1|v_2|...|v_k]$, а $\overline{H}_k$ - верхняя матрица Хессенберга размерности $(j+1)$ на $j$.

1.2.2 Минимизация функционала невязки

Для решения исходной системы GMRES вычисляет приближённое решение $x_k$, которое минимизизует функционал невязки:

$J(y) = \|b- A x_k\|_2 = \|b - A(x_0 + V_ky)\|_2 = \|\beta e_1 - \overline{H}_ky_k \|_2$, где $\beta = \|r_0\|_2$.

Вектор $y_k$ может найден как решение линейной задачи наименьших квадратов размера $k+1$-на-$k$:

$y_k = \arg\min_{y}\| \beta e_1 - \overline{H}_ky\|_2$.

Для решения задачи матрица $\overline{H}_k$ приводится к верхнему треугольному виду с помощью $k$ последовательных вращений Гивенса.

1.2.3 Общая схема метода

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

1. найти ортонормированный базис $V_k$ подпространства $K_k$ с помощью ортогонализации Арнольди;
2. найти $y_k$, минимизирующий $\|r_k\|_2$;
3. вычислить $x_k = x_0 + V_ky_k$;
4. вычислить $r_k$ и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

• Вычисление ортонормированного базиса $K_k$;
• Формирование приближенного решения $x_k$.

Для вычисления ортонормированного базиса $K_k$ метод использует процесс Арнольди:

$h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j}$, где $h_{ij} = (Av_j, v_i)$, $\quad j=1,\ldots,k$.

Для нахождения приближённого решения $x_k$ метод использует формулу:

$x_k = x_0 + V_ky_k$.

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

• Умножение матрицы на вектор;
• Вычисление скалярного произведения векторов;
• Вычисление $l_2$-нормы вектора;
• Умножение вектора на скаляр;
• Деление вектора на скаляр.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

На практике используется перезапускаемая версия метода - GMRES(m):

1 Подготовка перед итерационным процессом:

1.1 Выбрать начальное приближение $x_0$;

1.2 Посчитать невязку $r_0 = b - Ax_0$;

1.3 Вычислить $v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2}$.

2 Построение ортонормированного базиса $K_m$:

Для всех $j$ от 1 до m по нарастанию выполнять:

2.1 $h_{ij} := (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j$;

2.2 $\hat{v}_{j+1} := Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i}$;

2.3 $h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2$;

2.4 $v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}}$.

3 Вычисление $x_m$:

3.1 $x_m = x_0 + V_my_m$, где $y_m$ минимизирует $\|r_0 - AV_my_m\|_2$;

3.2 Вычислить $r_m$;

3.3 Если требуемая точность достигнута, остановиться.

4 Перезапуск:

4.1 $x_0 = x_m$;

4.2 $v_1 = \frac{r_m}{\|r_m\|_2}$;

4.3 Перейти к шагу 2.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Если пренебречь сложностью вычисления $y_k$, то общую сложность алгоритма GMRES можно разделить на две части:

1. Сложность вычисления ортонормированного базиса пространства $K_k$:

a) Для вычисления $j$-го вектора базиса $K_k, j \lt k$ требуется:

$NZ + (2j + 1)n$ мультипликативных операций, где $NZ$ - количество ненулевых элементов матрицы $A$.

b) Вычисление последнего вектора базиса требует:

$n(k + 1)$ мультипликативных операций.

c) Общая мультипликативная сложность вычисления ортонормированного базиса $K_k$:

$nk(k + 1) + kNZ$.

2. Сложность вычисления приближённого решения $x_k$:

a) Вычисление этой формулы требует $nk$ мультипликативных операций.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

• $A$ – квадратная матрица размера $n$-на-$n$;
• $b$ – вектор правой части размера $n$-на-1;
• $x_0$ – начальное приближение размера $n$-на-1;
• $\epsilon$ – погрешность решения.

Для перезапускаемой версии алгоритма дополнительно:

• $m$ – число итераций.

Объём входных данных: $n^2 + 2n + 1$.

Выходные данные:

• $x_k$ - вектор приближённого решения размера $n$-на-1.

Объём выходных данных: $n$.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Реализации алгоритма GMRES присутствуют во многих программных пакетах:

• Библиотека LINPACK
• JAMA/C++
• ATLAS
• Intel MLK
• IML++
• LAPACK
• MTL
• SPARSKIT
• WSMP

3 Литература

<references \>