Алгоритм Фокса умножения матриц

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Фокса - это блочный алгоритм умножения квадратных матриц. Основная его идея заключается в том, что матрицы разбиваются на части, представляющие собой подматрицы исходных матриц (разделяются как матрицы-операнды, так и результирующая). При таком разбиении данных для определения базовых подзадач за основу берутся вычисления, выполняемые над блоками. А базовой подзадачей является процедура вычисления всех элементов одного из блоков результирующей матрицы. В отличие от стандартного ленточного алгоритма, когда мы рассматриваем матрицы в виде набора строк и столбцов, такой подход хранения позволяет добиться большей локализации данных и повысить эффективность использования кэш-памяти, что дает нам уменьшение времени работы программы.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: квадратная матрица $A$ (состоит из блоков $A_{ij}$), квадратная матрица $B$ (состоит из блоков $B_{ij}$).

Вычисляемые данные: квадратная матрица $C$ (состоит из блоков $C_{ij}$).

При этом каждый блок $C_{ij}$ определяется как произведение соответствующих блоков матриц $A$ и $B$ :

$\begin{align} C_{ij} = \sum_{s = 0}^{q-1} A_{is} B_{sj}, \quad i \in [0, q-1],\quad j \in [0, q-1]. \end{align}$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро перемножения квадратных матриц методом Фокса можно составить из процедур вычисления всех элементов одного из блоков результирующей матрицы, т.е. из процедур множественных вычислений умножения блоков матрицы $A$ на блоки матрицы $B$

$\begin{align} \sum_{s = 0}^{q-1} A_{is} B_{sj}, \quad i \in [0, q-1],\quad j \in [0, q-1]. \end{align}$

1.4 Макроструктура алгоритма

Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть умножения матриц составляют множественные вычисления произведения блоков матрицы $A$ на блоки матрицы $B$. Перемножать блоки будем стандартным методом, используя определение произведения матриц:

$\begin{align} \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj} \end{align}$

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Разобьем исходные матрицы на блоки $A_{ij}$,$B_{ij}$ и $C_{ij}$ соответственно. Обнулим блоки матрицы $C$, предназначенной для хранения соответствующего результирующего произведения $AB$. Затем запускается цикл, в ходе которого выполняется последовательное умножение блоков матриц операндов и суммирование полученных результатов.

$\begin{align} С_{ij} = \sum_{s = 0}^{q-1} A_{is} B_{sj}, \quad i \in [0, q-1],\quad j \in [0, q-1]. \end{align}$

После завершения цикла мы получим матрицу с блоками $C_{ij}$, соответствующую произведению $AB$.

3 Литература

1. Абрамян М.Э. Лекции по основам параллельного программирования, ЮФУ, 2016

2. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений: учебное пособие, ИНТУИТ, 2007