Участник:Chist/Метод Ньютона

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Поскольку функция может иметь несколько корней, чтобы попытаться найти их все, необходимо провести перебор начальных приближений. При нас интересуют не только действительные корни, но и комплексные, будет производить перебор по некоторой сетке на комплексной плоскости.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть задана некоторая функция $\ f(x)$, её производная $\ f'(x)$ и сетка на комплексной плоскости вида

$z_0 = \left( x_0 + \alpha \dfrac{x_1 - x_0}{N} \right) + i \cdot \left( y_0 + \beta \dfrac{y_1 - y_0}{M} \right), \qquad \alpha = \overline{1, N},\ \beta = \overline{1, M},$

где $\ i$ — мнимая единица.

Получим решения уравнения $\ f(z) = 0$ с помощью итерационного процесса, определяемого формулой:

$z_{k+1} = z_k - \dfrac{f(z_k)}{f'(z_k)},$

где в качестве начального приближения $\ z_0$ перебираются всевозможные точки рассмотренной сетки.

1.2.1 Теоретическое обоснование

Пусть $\ F(x)$ — оператор, отображающий линейное нормированное пространство $H$ на линейное нормированное пространство $Y$. Линейный оператор $P$, действующий из пространства $H$ в пространство $Y$, назовём производной оператора $F(x)$ в точке $x$, если

$\| F(x + \eta) − F(x) − P\eta \|_Y = o(\| \eta \|_H).$

Будем обозначать такой оператор $P$ как $F′(x)$.

Пусть $\ X$ — решение уравнения $F(X) = 0$, $\ \Omega_a = \{ x: \| x - X \| \lt a \}$. Пусть также при некоторых $a \gt 0,\ a_1 \ge 0,\ a_2 \le \infty$ выполнены условия:

$\label{requirement_one} \| (F'(X))^{-1} \|_{Y} \le a_1 \text{ при } x \in \Omega_a,$

$\| F(u_1) - F(u_2) - F'(u_2)(u_1 - u_2) \|_{Y} \le a_2 \|u_2 - u_1 \|_{H}^{2} \text{ при } u_1, u_2 \in \Omega_a.$

Обозначим $c = a_1 a_2$, $b = \min \{a, c^{-1}\}$.

Метод Ньютона применим на основании следующей теоремы:

Теорема. Если выполнены указанные условия и начальное приближение $x_0$ принадлежит $\Omega_b$, то итерационный процесс Ньютона

$x_{n + 1} = x_{n} - (F'(x_n))^{-1} F(x_n)$

сходится с оценкой погрешности

$\| x_n - X \|_{H} \le c^{-1} \left( c \| x_0 - X \|_{H} \right)^{2^n}.$

Доказательство этой теоремы можно найти в литературе.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительную сложность алгоритма представляют операции вычисления значения функций в заданной точке, а так же операции вычитания и деления. При этом итерационный процесс запускается $N \cdot M$ раз, а количество итераций в каждом процессе, вообще говоря, не определено; наиболее популярными условиями останова являются следующие:

$\| z_{n + 1} - z_{n} \| \lt \varepsilon,$

$| f(z_{n}) | \lt \varepsilon.$

Однако, для верхней оценки числа операций удобно зафиксировать число итераций в каждом процессе. Это так же позволит завершить вычисления в случае, если итерационный процесс не сходится.

1.4 Макроструктура алгоритма

Для обеспечения параллелизма сперва исходная сетка разбивается на $n$ по возможности равных участков (например, на полосы длины $M$) — запускается $n$ процессов. В каждом участке последовательно запускаются итерационные процессы для каждого узла сетки, в ходе которых:

• 1. вычисляются значения функций $\ f(z_k)$, $\ f'(z_k)$ (предполагается, что функции заданы аналитически);
• 2. вычисляется следующая точка:

$z_{k+1} = z_k - \dfrac{f(z_k)}{f'(z_k)};$

• 3. если условие останова не выполнено, переходим к шагу 1.

Поскольку полученные в каждом процессе результаты необходимо обработать (проверить, являются ли полученные числа корнями; также желательно оставить только уникальные решения), нужно переслать полученные данные в какой-то один процесс. Проверку корней можно осуществлять на том процессоре, где они были получены, но это вызовет дополнительные сложности при работе с памятью во время последующей пересылки.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательный алгоритм является частным случаем описанного алгоритма при $n = 1$. При этом не возникает затрат на пересылку информации о найденных корнях к одному процессу, что позволяет более эффективно работать с памятью.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для определения сложности алгоритма, необходимо выбрать класс функций, для которого будет написана программа (предполагается, что функции $\ f(x)$, $\ f'(x)$ заданы аналитически). Проведём исследование для многочленов степени $p$, каждый из которых определяется вектором из $p + 1$ коэффициентов. Пусть выбран критерий останова, при котором каждое использование метода Ньютона включает в себя $iter\_num$ операций.

Основную вычислительную сложность представляют собой операции умножения и деления комплексных чисел с плавающей точкой, будем считать их суммарное количество. Однако, необходимо помнить, что операции над комплексными числами требуют больше ресурсов, чем операции над действительными числами.

Для вычисления значения многочлена степени $p$ в точке с помощью тривиального алгоритма необходимо $\frac{p(p+1)}{2} + p$ операций умножения. Воспользовавшись схемой Горнера, можно сократить число умножений до $p$:

$P(x) = ( \ldots (a_p x + a_{p-1}) x + a_{p-2})x + \ldots + a_1)x + a_0.$

В каждой итерации метода нужно вычислить не только значение многочлена в точке, но и значение его производной в этой точке. Это добавляет ещё $p - 1$ операцию. Наконец, в каждой итерации производится ровно одно деление.

Учитывая количество узлов сетки и заданное количество итераций, получим общее число операций умножения деления:

$p + N \cdot M \cdot iter\_num \cdot (p + (p - 1) + 1) = p + 2 \cdot N \cdot M \cdot iter\_num \cdot p,$

где первое слагаемое соответствует числу операций для вычисления коэффициентов производной многочлена.

1.7 Информационный граф

Пересылка данных происходит от каждого процесса к первому. При этом в первом процессе так же происходят вычисления, поэтому может возникнуть задержка при пересылке данных, если вычисления в первом процессе ещё не завершены. Однако выделять под обработку пересланных данных отдельный процесс нерационально: в таком случае на нём будет застой во время вычислений на всех остальных процессах.

Рисунок 1. Граф алгоритма.

При этом первый процесс не пересылает свои данные к себе (в привычном понимании пересылки), а просто сохраняет полученные результаты в отдельный массив.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм является строго последовательным, однако существует возможность распараллеливания благодаря перебору. Таким образом сложность алгоритма равна $O(\frac{N \cdot M}{n})$.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

• $p + 1$ действительное число — коэффициенты многочлена.
• Действительные числа $x_0$, $y_0$, $x_1$, $y_1$, определяющие левый нижний $(x_0, y_0)$ и правый верхний $(x_1, y_1)$ узлы прямоугольной сетки.
• Натуральные числа $M$ и $N$, задающие количество узлов сетки по горизонтали и вертикали
• Натуральное число $iter\_num$, равное количеству итераций при каждом запуске метода Ньютона

Выходные данные:

• список всех найденных комплексных чисел $z$, удовлетворяющих условию $|f(z)| \lt \varepsilon$.

1.10 Свойства алгоритма

Как хорошо видно, соотношение последовательной и параллельной сложности является линейным.

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных, так же является линейной.

Очевидно, что алгоритм является детерминированным.

Как уже было замечено, могут возникнуть задержки в связи с пересылкой данных от каждого процесса к первому. Это связано не только с тем, что в первом процессе так же происходят вычисления, но и с тем, что несколько процессов могут отправить запросы на пересылку одновременно. В результате может возникнуть неоптимальное использование мощностей.

2 Программная реализация алгоритма

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Основная идея параллелизма заключается в разбиении сетки на $n$ участков. Идеи параллелизма можно также применять при вычислении значения многочлена в точке, однако это становится нерациональным при использовании схемы Горнера. Стоит отметить, что, за исключением перебора по сетке, в алгоритме нет каких-либо циклов.

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

На рисунке 2 показана зависимость времени работы программы от количества процессоров и степени многочлена (рассматривались полиномы вида $z^p - 1 = 0$).

Рисунок 2. Масштабируемость алгоритма.

Как видно из рисунка, время выполнения пропорционально степени полинома и обратно пропорционально числу процессоров, что согласуется с теоретическими результатами. На рисунке 3 показана зависимость времени работы от числа процессоров при фиксированной степени полинома $p = 4$. Можно заметить, что в данном случае полученные результаты достаточно хорошо аппроксимируются функцией $y(x) = 50 / x$.

Рисунок 3. Зависимость от числа процессоров.

2.7 Существующие реализации алгоритма

• Последовательные реализации
  • ALIAS C++. Язык реализации — C++. Распространяется бесплатно, исходные коды и примеры использования можно скачать на сайте.
  • Numerical Recipes. Язык реализации — C++. Исходный код можно найти в книге "Numerical recipes" . Бесплатно доступны предыдущие издания для языков C, Fortran77, Fortran90.
  • Numerical Mathematics — NewtonLib. Язык реализации - C, Fortran. Исходные коды доступны в качестве приложения к книге Peter Deuflhards "Newton Methods for Nonlinear Problems — Affine Invariance and Adaptive Algorithms".

• Параллельные реализации
  • Sundials. Язык реализации — C, также есть интерфейс для использования в Fortran-программах. Распространяется по лицензии BSD.
  • PETSc. Язык реализации — C, есть интерфейс для Java и Python. Распространяется по лицензии BSD.

3 Литература

<references \>