Участник:Антон Тодуа/Partitioning Around Medoids (PAM)

Основные авторы описания: Тодуа А.Р., Гусева Ю.В.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация – это процесс автоматического разбиения некоторого множества элементов на группы(кластеры) на основе степени их схожести. Для лучшего осознания, что такое кластер, рассмотрим пример.

Рисунок 1.

В этом небольшом наборе данных четко выделяются две различные группы объектов,а именно: {1, 2, 3} и (4, 5, 6}. Такие группы и называются кластерами, и обнаружить их является целью кластерного анализа.

Таким образом, у кластера можно выделить два признака

● внутренняя однородность;

● внешняя изолированность.

Для чего используется кластеризация?

● Группировка объектов

● Распознавание образов

● Выявление структуры данных

● Сжатие данных

Для чего используется кластеризация?

● классификация результатов поиска (nigma, yippy,quintura)

● автоматическое построение каталогов

● работа только с несколькими представителями кластеров

● сегментация изображений — компьютерная графика

● кластеризация документов, таблиц и др.данных

● выделение групп клиентов, покупателей,товаров для разработки отдельных стратегий

Очевидно, что спектр применений кластерного анализа очень широк: в археологии, медицине, психологии, химии, биологии, государственном управлении, филологии, антропологии, маркетинге, социологии и других дисциплинах.

По типу обработки данных можно выделить два класса методов кластерного анализа:

Иерархические методы:

Агломеративные методы AGNES (Agglomerative Nesting):

- CURE;

- ROCK;

- CHAMELEON и т.д.

Дивизимные методы DIANA (Divisive Analysis):

- BIRCH;

- MST и т.д.

Неиерархические методы.

Итеративные

- k-means

- k-medoids

- CLOPE

- LargeItem и т.д.

Самый распространённый вариант реализации $k$-medoids называется PAM (Partitioning Around Medoids). Он представляет собой «жадный» алгоритм с очень неэффективной эвристикой. Данный метод был предложен Кауфманом в 1987 году.

Алгоритм начинается с выбора набора данных, состоящих из медоидов и остальных объектов. После выбора $k$ произвольных объектов в качестве медоидов, необходимо для каждой пары ${x_i}$ и ${m_k}$ вычислить значение $S({x_{i}}{m_{k}})$. По ходу выполнения алгоритма происходит итеративная замена одного из медоидов $x_i$ одним из остальных объектов $m_k$, если посчитанное ранее значение $S$ меньше нуля. Процесс будет повторятся, пока медоиды не стабилизируются.

1.2 Математическое описание алгоритма

В качестве исходных данных алгоритм принимает:

• Симметрическую матрицу $D$ порядка $N$ с нолями на главной диагонали для $N$ объектов кластеризации: $i$-я строка матрицы $D$ определяется расстояние от $i$-го объекта кластеризации до каждого из остальных объектов кластеризации
• Число кластеров $K$, при этом: $K \lt N$

Для заданных входных данных, алгоритм выбирает $K$ объектов - медоидов (medoids) из $N$ объектов кластеризации. Все медоиды относится к разных кластерам и являются их характерными представителями. Кластеры остальных объектов (не медоидов) совпадают с кластером ближайшего к ним медоида. Ближайший к $i$-му объекту медоид будем коротко назвать медоидом $i$-го объекта. Выбор медоидов осуществляется исходя из минимизации среднего расстояния (average dissimilarity) между объектами внутри одного кластера. От минимизации среднего расстояния можно перейти к минимизации суммы расстояний от объектов до их медоидов. Такой переход не повлияет на выбор медоидов, но позволит не накапливать ошибки округления, возникающие в результате операции деления. Стоит отметить, что в общем случае расстояние между объектами следует понимать как меру похожести (similarity) объектов.

Для дальнейшего описания алгоритма введём следующие обозначения:

• $U$ – множество объектов кластеризации, не выбранных в качестве медоидов
• $S$ – множество объектов кластеризации, выбранных в качестве медоидов
• $C_{ij}$ – изменение расстояния от $j$-го объекта до его медоида в результате выбора $i$-го объекта в качестве медоида
• $T_{ijh}$ – изменение расстояния от $j$-го объекта до его медоида, в результате обмена $i$-го медоида на $h$-й объект

Под обменом $i$-го медоида на $h$-й объект будем понимать операцию, в результате которой $i$-й медоид перестаёт быть медоидом, а $h$-й объект выбирается в качестве медоида:

$\begin{align} S & = S - \{i\} + \{h\} \\ U & = U - \{h\} + \{i\} \end{align}$

Перед выполнением алгоритма множество $U$содержит все объекты кластеризации, а множество $S$ – пусто. Описание значений $C_{ij}$ и $T_{ijh}$ и способа их вычисления будет дано при описании макроструктуры алгоритма.

Выполнение алгоритма включает в себя подготовительную стадию BUILD и итерационную стадию SWAP.

Стадия BUILD предназначена для построения начального множества медоидов и состоит в последовательном выполнении следующих шагов:

1. Добавить в множество $S$ объект, сумма расстояний от которого до всех остальных объектов минимальна (самый центральный объект):

[math]S = S + \{ arg\min_{i \in U} \sum_{j \in U} d_{ij} \}[/math]

2. Выбрать ещё $K-1$ медоидов следующим образом

[math]S = S + \{ arg\max_{i \in U} \sum_{j \in U - \{i\}} C_{ij} \}[/math]

Стадия SWAP является итерационной, одна итерация состоит в попытке улучшить кластеризацию путём выполнения обмена. На каждой итерации выполняется операция $arg\min_{i \in S, h \in U} \sum_{j \in U - \{h\}} T_{ijh}$. Если для найденной пары $i \in S$ и $h \in U$ значение $\sum_{j \in U - \{h\}} T_{ijh}$ меньше ноля (это означает, что кластеризацию можно улучшить), то выполняется обмен $i$-го медоида и $h$-го объекта. В противном случае дальнейшее улучшение кластеризации с помощью обмена невозможно и алгоритм завершает свою работу.

В результате работы алгоритма множество $S$ будет содержать ровно $K$ объектов – медоидов. Как было сказано $j$-й объект лежит в том же кластере, что и его медоид: $arg\min_{i \in S} d_{ij}$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Из математического описания алгоритма следует, что вычислительное ядро алгоритма сосредоточено в итерационной стадии SWAP. Одна итерация состоит в вычислении:

[math]arg\min_{i \in S, h \in U} \sum_{j \in U - \{h\}} T_{ijh}[/math]

Смысл этого выражения в том, что выполняется выбор такой пары медоида $i$ и объекта $h$ операция обмена которых приведёт к улучшению кластеризации или же делается вывод о невозможности такого обмена и работа алгоритма завершается.

1.4 Макроструктура алгоритма

Для описания значений $C_{ij}$ и $T_{ijh}$ и способа их вычисления введём следующие обозначения (в дополнение к обозначениям, введённым в математическом описании алгоритма):

• $D_{i}$ – расстояние от $i$-го объекта до его медоида
• $E_{i}$ – расстояние от $i$-го объекта до второго ближайшего к нем медоида

Очевидно, что для любых объектов верно неравенство $D_{i} \lt = E_{i}$. Отметим также, что значения $D_{i}$ и $E_{i}$ могут меняться при изменениях в множествах $U$ и $S$.

Значение $C_{ij}$ представляет собой число, на которое уменьшается значение $D_{j}$ в результате выбора $i$-го объекта в качестве медоида. Очевидно, что данное значение всегда неотрицательно. Выбор $i$-го объекта в качестве медоида влечёт за собой один из следующих двух случаев. В первом случае, когда $D_{j} \lt = d_{ij}$, величина $D_{j}$ не изменится, т.к. ближайший к $j$-му объекту медоид останется на том же расстоянии от него, следовательно будет справедливо равенство $C_{ij} = 0$. В втором случае, когда $D_{j} \gt d_{ij}$, ближайшим к $j$-му объекту медоидом станет новый выбранный медоид ($i$-ый объект), следовательно будет справедливо равенство $C_{ij} = D_{j} - d_{ij}$.

Значение $T_{ijh}$ представляет собой число, которое добавляется к значению $D_{j}$ в результате выполнения операции обмена $i$-го медоида и $h$-го объекта.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

В соответствии с приведённым выше математическим описанием последовательное выполнение алгоритма представляет собой выполнение стадии BUILD, а затем последовательное повторение итераций стадии SWAP до тех пор пока существует пара объектов (один из которых медоид, а другой – нет), которые можно обменять, чтобы улучшить кластер.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

При описании последовательной сложности будем считать, что выполняется распределение $N$ объектов по $K$ кластерам. В соответствии с приведённым математическим описанием алгоритм включает в себя подготовительную стадию BUILD и итерационную стадию SWAP.

Стадия BUILD сводится к вычислению:

Одной операции [math]arg\min_{i} \sum_{j} d_{ij}[/math]
[math]K-1[/math] операций [math]arg\max_{i \in U} \sum_{j \in U - \{i\}} C_{ij}[/math]

Т.е. стадия BUILD требует:

[math]K * N^2[/math] операций сложения
[math]K * N[/math] операций сравнения (определения максимума/минимума)
Около [math]K * N^2[/math] вычислений [math]C_{ij}[/math]

Одна итерация стадии SWAP сводится к вычислению:

[math]arg\min_{i \in S, h \in U} \sum_{j \in U - \{h\}} T_{ijh}[/math]

Т.е. одна итерации стадии SWAP требует порядка:

[math]K * N^2[/math] операций сложения
[math]K * N[/math] операций сравнения (определения максимума/минимума)
[math]K * (N - K) * (N - K - 1)[/math] вычислений [math]T_{ijh}[/math]

Вычисления $C_{ij}$ и $T_{ijh}$ имеют константную сложность для любых $i$, $j$ и $h$, поэтому сложность одной итерации алгоритма определяется как $O(K * N^2)$. Таким образом можно отнести алгоритм PAM к алгоритмам с кубической сложностью.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

1. Матрица непохожести объектов кластеризации (dissimilarity matrix) [math]D[/math] (элементы [math]d_{ij}[/math]).
Дополнительные ограничения:
- [math]D[/math] – симметрическая матрица порядка [math]N[/math], т.е. [math]d_{ij}= d_{ji}, i, j = 1, \ldots, N[/math]
- [math]D[/math] – содержит нули на главной диагонали, т.е. [math]d_{ii}= 0, i = 1, \ldots, N[/math]
2. [math]K[/math] - число кластеров, на которое следует разбить объекты кластеризации

Объём входных данных:

[math]\frac{N (N - 1)}{2}[/math] (в силу симметричности и нулевой главной диагонали достаточно хранить только  над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. 

Выходные данные:

[math]N[/math] чисел [math]k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{N}[/math], где [math]k_{i}[/math] - целое число, соответствующее кластеру [math]i[/math]-го объекта.

Выходными данными алгоритма также можно считать [math]K[/math] чисел, задающих номера объектов кластеризации, выделенных в качестве медоидов (medoids). Однако в большинстве случаев требуется именно определение кластеров объектов, а не поиск соответствующих медоидов.

Объём выходных данных:

[math]N[/math] (кластеры объектов кластеризации)

1.10 Свойства алгоритма

Ограничения: небольшой объем данных. Достоинства: простота использования; быстрота использования; понятность и прозрачность алгоритма, алгоритм менее чувствителен к выбросам в сравнении с k-means. Недостатки: необходимо задавать количество кластеров; медленная работа на больших базах данных.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

PAM работает эффективно для небольших наборов данных, но не очень хорошо масштабируется для больших наборов данных