Шаблон:Main page/Featured

1 Разложение_Холецкого_(метод_квадратного_корня)

Свойства алгоритма: Последовательная сложность алгоритма: $O(n^3)$ Высота ярусно-параллельной формы: $O(n)$ Ширина ярусно-параллельной формы: $O(n^2)$ Объём входных данных: $\frac{n (n + 1)}{2}$ Объём выходных данных: $\frac{n (n + 1)}{2}$

1.1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1.1 Общее описание алгоритма

Разложение Холецкого впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем. Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня [1-3]; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.

Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.

Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.

1.1.2 Математическое описание

Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица $A$ (элементы $a_{ij}$).

Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица $L$ (элементы $l_{ij}$).

Формулы метода:

$\begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align}$

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление $1/l_{ii}$ и затем умножение на него всех (видоизменённых) $a_{ji}$ . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.

1.1.3 Последовательная сложность алгоритма

Для разложения матрицы порядка n методом Холецкого в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

• $n$ вычислений квадратного корня,
• $\frac{n(n-1)}{2}$ делений,
• $\frac{n^3-n}{6}$ сложений (вычитаний),
• $\frac{n^3-n}{6}$ умножений.

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения метода Холецкого.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод Холецкого относится к алгоритмам с кубической сложностью.

(Читать полностью…)