Участник:IanaV/Алгоритм k means
Авторы страницы: Валуйская Я.А., Глотов Е.С.
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм k-means (k средних) - один из наиболее популярных алгоритмов кластеризации. Наиболее простой, но в то же время достаточно неточный метод кластеризации в классической реализации.
Алгоритм был разработан в 1956 году математиком Гуго Штейнгаузом [1], и почти одновременно его изобрел Стюарт Ллойд [2]. Особую популярность алгоритм снискал после работы Джеймса Маккуина [3]
Алгоритм кластеризации k-means решает задачу распределения [math]N[/math] наблюдений (элементов векторного пространства) на заранее известное число кластеров [math]K[/math]. Действие алгоритма таково, что он стремится минимизировать среднеквадратичное отклонение на точках каждого кластера.
Основная идея алгоритма заключается в том, что на каждой итерации перевычисляется центр масс для каждого кластера, полученного на предыдущем шаге, затем векторы разбиваются на кластеры вновь в соответствии с тем, какой из новых центров оказался ближе по выбранной метрике. Алгоритм завершается, когда на какой-то итерации не происходит изменения кластеров.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные:
- множество наблюдений [math]X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}[/math], где каждое наблюдение [math]x_i \in R^d, i = 1, ..., n[/math];
- количество кластеров [math]k \in N, k \leq n[/math]
Обозначения:
- [math]S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} [/math] - множество кластеров, которые удовлетворяют следующим условиям:
- [math]S_i \bigcap S_j = \emptyset, i \neq j[/math];
- [math]X = {\bigcup \limits _{i = 1}^k S_i} [/math].
- [math]\mu_i \in R^d, i = 1, ..., k[/math] - центр масс кластера [math]S_i[/math]
- [math]d(u, v)[/math] - расстояние между векторами [math]u \in R^m, v \in R^m[/math]
Выходные данные:
- [math]L = (l_1, l_2, ..., l_n)[/math] - набор меток, где метка [math]l_i \in N_{[1, k]}[/math] - является порядковым номером кластера, к которому принадлежит вектор [math]x_i[/math]: [math] x_i \in S_{l_i}[/math]
Цель алгоритма k-means - распределить наблюдения из входного множества [math]X[/math] по [math]k[/math] кластерам [math]S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} [/math] таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра масс по всем кластерам была минимальной:
[math]\arg\min_{S} \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in S_i} (d(x, \mu_i))^2 [/math],
Алгоритм состоит из следующих шагов:
- Инициализация центров масс
На данном шаге задаются начальные значения центров масс [math] \mu_1^1, ..., \mu_k^1[/math]. Существует несколько способов их выбора. Они будут рассмотрены ниже. - t-ый шаг итерации:
- Распределение векторов по кластерам
На данном шаге каждый вектор [math]x \in X[/math] распределяется в свой кластер [math]S_i^t[/math] так, что:
[math]l_i^t = \arg \min_{j} (d(x, \mu_j^t))^2 , j = 1, ..., k[/math] - Пересчет центров масс кластеров
На данном шаге происходит пересчет центров масс кластеров, полученных на предыдущем этапе:
[math]\mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x[/math]
- Распределение векторов по кластерам
- Критерий останова
[math]\mu_i^t = \mu_i^{t+1},[/math] для всех [math]i = 1, ..., k[/math]
Способы инициализации начальных данных:
- Метод Forgy
Случайным образом выбираются [math]k[/math] векторов из множества наблюдений [math]X[/math]. Эти вектора используются в качестве центров масс кластеров [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math] - Метод случайного разбиения (Random Partition) [4]
Каждый вектор [math]x_i, i = 1, .., n[/math] случайным образом распределяется в кластер [math]S_j, j = 1, .., k[/math], затем для каждого кластера вычисляется его центр масс [math]\mu_j[/math].
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительном ядром алгоритма является шаг 2, состоящий из следующих этапов:
- распределение векторов по кластерам;
- пересчет центров масс кластеров.
Распределение векторов по кластерам заключается в следующем: для каждого вектора [math]x_i \in X, i = 1, ..., n[/math] необходимо посчитать расстояние между этим вектором и центром масс кластера [math]\mu_j^t, j = 1, ..., k[/math]. Следовательно, на каждой итерации необходимо выполнить [math]n * k[/math] операций вычисления расстояния между векторами.
Пересчет центров масс кластеров заключается в следующем: для каждого кластера [math]S_i^t \in S, i = 1, ..., k[/math] необходимо пересчитать кластер по формуле, приведенной в пункте выше. Следовательно, на каждой итерации необходимо выполнить [math]k[/math] операций пересчета центров масс кластеров.
1.4 Макроструктура алгоритма
- Макрооперация "Расстояние между векторами"
В данном алгоритме используется Евклидова метрика:
[math]v \in R^m[/math] и [math]u \in R^m: d(v, u) = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_j - u_j)^2} [/math]; - Макрооперация "Пересчет центра масс кластера"
[math]\mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x[/math]
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Псевдокод алгоритма:
Входные данные : Множество векторов [math]X[/math], количество кластеров [math]k[/math] Выходные данные : Набор меток [math]L[/math] принадлежности к кластеру 1 Инициализация центров масс [math]\mu_i^1, i = 1, ..., k[/math]; 2 t := 1; 3 Для каждого вектора [math]x_i \in X, i = 1, ..., n:[/math] [math]l_i^t = \arg \min_{j} (d(x_i,\mu_j^t))^2 , j = 1, ..., k[/math]; 4 Для каждого кластера [math]S_i^t, i = 1, ..., k[/math] выполняется макрооперация "Пересчет центра масс"; 5 if ([math]\exists i = 1, ..., k: \mu_i^t \neq \mu_i^{t+1}[/math]) { 6 t := t + 1; 7 goto 3; 8 } else { 9 stop; 10 };
Существующие способы оптимизации алгоритма [5] [6] [7]
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Подсчитаем количество операций для каждого шага алгоритма.
- Инициализация:
- Метод Forgy: [math]N_{init} = 0[/math]
- Метод случайного разбиения:
- Количество операций деления: [math]N^{/}_{init} = k * d[/math];
- Количество операций сложения: [math]N^{+}_{init} = d * (n - k)[/math].
- Распределение [math]n[/math] векторов [math]x_i \in R^d[/math] по [math]k[/math] кластерам на одной итерации:
- Количество операций умножения: [math]N^{*}_{distr} = k * n * d[/math];
- Количество операций сложения: [math]N^{+}_{distr} = k * n * (d - 1)[/math];
- Количество операция вычитания: [math]N^{-}_{distr} = k * n * d[/math].
- Пересчет центра масс [math]\mu_i \in R^d[/math] для [math]k[/math] кластеров на одной итерации:
- Количество операций деления: [math]N^{/}_{centr} = k * d[/math];
- Количество операций сложения: [math]N^{+}_{centr} = d * (n - k)[/math].
Следовательно, в случае если алгоритм сошелся за [math]i[/math] итераций, получаем:
- Операций сложения/вычитания: [math]N^{+,-}_{k-means} = N^{+}_{init} + i*(N^{+}_{distr} + N^{-}_{distr} + N^{+}_{centr}) = d * (n - k) + i*(k*n*(d-1)+k*n*d+d*(n-k)) \thicksim O(i*k*n*d)[/math]
- Операций умножения/деления: [math]N^{*,/}_{k-means} = N^{/}_{init} + i*(N^{*}_{distr} + N^{/}_{centr}) = k * d + i*(k*n*d+k*d) \thicksim O(i*k*n*d)[/math]
Таким образом, последовательная сложность алгоритма k-means для [math]n[/math] [math]d[/math]-мерных векторов и [math]k[/math] кластеров за [math]i[/math] итераций, требуемых для сходимости алгоритма:
[math]O(i * n * k * d)[/math]
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные:
- [math]n[/math] векторов [math]x_i \in R^d, i = 1, ..., n[/math];
- число кластеров [math]k \in N_{[1,n]}[/math].
Объем входных данных: [math]n * d[/math] действительных чисел, 1 целое число
Выходные данные:
- вектор меток [math]L \in N^n[/math].
Объем выходных данных: [math]n[/math] целых чисел. [math]n \in [1,k][/math]
1.10 Свойства алгоритма
- Достоинства
- Алгоритм прозрачный и понятный, за счет чего очень прост в реализации;
- Алгоритм имеет высокую скорость работы в случае выбора оптимальных начальных значений центров масс кластеров.
- Недостатки
- Число кластеров является входным аргументом алгоритма. Таким образом, некорректный выбор данного параметра может привести к плохим результатам работы алгоритма, поэтому очень важно проводить диагностические прогоны для подбора оптимального количества кластеров;
- Алгоритм может сойтись к локальному минимуму (достижение глобального минимума не гарантируется);
- Результат сильно зависит от выбора начальных значений центров масс кластеров. Существует улучшенная версия алгоритма - k-means++ [8], которая предлагает свой способ нахождения начальных оптимальных значений центров масс кластеров.
- Устойчивость
- Алгоритм является устойчивым к погрешностям во входных данных, так как при вычислении центров кластеров расстояния между объектами усредняются, что приводит к уменьшению ошибки
- Сбалансированность
- todo
- Соотношение последовательной и параллельной сложности
- todo
- Вычислительная мощность
- [math]{O(n*d*k*i) \over n*d+n+1} \thicksim {O(d*k*i) \over d+1} \thicksim O(k*i)[/math], где [math]n[/math] - число входных векторов, [math]d[/math] - размерность векторов, [math]k[/math] - число кластеров, [math]i[/math] - число итераций, требуемое для сходимости
- Детерминированность
- Алгоритм является недетерминированным, так как результат зависит от выбора исходных центров кластеров, а их оптимальный выбор неизвестен.
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации
2.2 Существующие реализации алгоритма
Существуют следующие Open Source реализации алгоритма:
- ELKI - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Java (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
- Weka - содержит реализацию k-means на языке Java
- Apache Mahout - содержит реализацию k-means в парадигме MapReduce
- Spark Mllib - содержит распределенную реализацию k-means
- Accord.NET - содержит реализацию k-means на C# (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
- MLPACK - содержит реализацию k-means на языке C++
- OpenCV - содержит реализацию k-means на C++. А также есть обертки для языков Python и Java
- SciPy - содержит реализацию k-means на языке Python
- Scikit-learn - содержит реализацию k-means на языке Python
- Julia - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Julia
- Octave - содержит реализацию k-means на языке Octave
- R - содержит реализацию k-means на языке R
- Torch - содержит реализацию k-means на языке Lua
3 Литература
- ↑ Steinhaus H. (1956). Sur la division des corps materiels en parties. Bull. Acad. Polon. Sci., C1. III vol IV: 801—804.
- ↑ Lloyd S. (1957). Least square quantization in PCM’s. Bell Telephone Laboratories Paper.
- ↑ MacQueen J. (1967). Some methods for classification and analysis of multivariate observations. In Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, pages 281—297.
- ↑ Hamerly, G.; Elkan, C. (2002). "Alternatives to the k-means algorithm that find better clusterings". Proceedings of the eleventh international conference on Information and knowledge management (CIKM).
- ↑ Phillips S. J. Acceleration of k-means and related clustering algorithms //Workshop on Algorithm Engineering and Experimentation. – Springer Berlin Heidelberg, 2002. – С. 166-177.
- ↑ Hamerly G. Making k-means Even Faster //SDM. – 2010. – С. 130-140.
- ↑ Elkan C. Using the triangle inequality to accelerate k-means //ICML. – 2003. – Т. 3. – С. 147-153.
- ↑ Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2007). "k-means++: the advantages of careful seeding". Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA. pp. 1027–1035.
