Участник:Vlamakarenko/Трассировка лучей

авторы: В.А.Макаренко, Р.А.Габдуллин

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Трассировка лучей - это технология визуализации трехмерных сцен путем отслеживания обратной траектории лучей света (от наблюдателя к источнику). Достоинствами данного метода являются реалистичность итоговых изображений, возможность визуализации гладких объектов без аппроксимации полигональными поверхностями, простота реализации отражений, преломлений, взятия в фокус, реалистичного освещения; возможность параллельной обработки лучей.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.2.1 Некоторые понятия из радиометрии

Энергетическая яркость

BRDF

Энергия излучения - энергия, переносимая оптическим излучением. Обозначается через  $Q$.

Поток излучения - мощность, переносимая оптическим излучением через какую-либо поверхность.  $\Phi = \frac{dQ}{dt}$.

Плотность потока излучения - отношение потока излучения, проходящего через малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   $\frac{d\Phi}{dA}$,   где   $dA$ - дифференциал поверхности.

Облученность - отношение потока излучения, падающего на малый участок поверхности, к площади этой поверхности.   $E=\frac{d\Phi}{dA}$,   где   $dA$ - дифференциал поверхности.

Энергетическая светимость - отношение потока излучения, испускаемого малым участком поверхности, к площади этой поверхности.  $M=\frac{d\Phi}{dA}$,   где   $dA$ - дифференциал поверхности.

Сила излучения - мощность излучения источника света в некотором направлении. Равна отношению потока излучения, исходящего от источника, к малому телесному углу.   $I=\frac{d\Phi}{d\omega}$.

Энергетическая яркость - отношение потока излучения через малую площадку поверхности и распространяющегося в малом телесном угле, к площади проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, и величине телесного угла.  $L=\frac{d^2\Phi}{dA\cdot d\omega \cdot \cos \theta}$

Энергетическую яркость, падающую на элемент поверхности, будем назвать падающей яркостью и обозначать $L_i$. Энергетическую яркость, отраженную элементом поверхности, будем называть отраженной яркостью и обозначать $L_o$.

Из определений следует, что:

1) $dE_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i) = L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i$
2) $E(\overline{p}) = \int_{\Omega_i} L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i \, d\omega_i$,  где интегрирование проводится по направлениям $\overline{\omega}_i$ таким, что $(\overline{n}, \overline{\omega}_i)$ > 0,  то есть по полусфере.
($\overline{n}$ - нормаль к поверхности в точке $\overline{p}$,   $\Omega_i = 2\pi^{+}$).

Пусть $\overline{p}$ - точка поверхности, $\overline{n}$ - нормаль в этой точке, $\overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o$ - единичные вектора такие, что $(\overline{n}, \overline{\omega}_i) \gt 0, \,\, (\overline{n}, \overline{\omega}_o) \gt 0$
Будем считать, что   $dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)$ пропорционален   $dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)$:
$dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) \sim dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)$.
Функция   $f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{dE_i(\overline{p},\overline{\omega}_i)} = \frac{dL_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o)}{L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i}$   называется двулучевой функцией отражательной способности (BRDF).
В точке $\overline{p}$ может быть задано несколько BRDF - множество $\{f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)\}$.
Тогда итоговая BRDF просто равна сумме BRDF из этого множества: $f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) = \sum_k f_{r_k}(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o)$.
$L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i$.   - уравнение отражений.
Важная часть алгоритма трассировки лучей - определить отраженную яркость по падающим яркостям, то есть посчитать этот интеграл. Обычно для вычисления интеграла применяют метод Монте-Карло.

1.2.1.1 Уравнение рендеринга

Уравнение рендеринга - это интегральное уравнение, которое определяет количество излученного в определенном направлении света как сумму отраженного и собственного излучения. Физической основой для уравнения рендеринга является закон сохранения энергии.

Уравнение отражений является частью уравнения рендеринга, поэтому остается только добавить собственное излучение объектов $L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o)$.

Уравнение рендеринга имеет вид $L_o(\overline{p}, \overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p}, \overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_r(\overline{p}, \overline{\omega}_i, \overline{\omega}_o) L_i(\overline{p}, \overline{\omega}_i)\cos \theta_i d\omega_i$.

По сути, алгоритмы рендеринга, в том числе и трассировка лучей, занимаются поиском приближенного решения уравнения рендеринга.

1.2.1.2 Поиск приближенного решения уравнения рендеринга

Введем оператор поиска первого пересечения. $r_c(\overline{p}, \overline{\omega})$ - оператор, который находит точку первого пересечения с объектами луча, выпускаемого из точки $\overline{p}$ по направлению $\overline{\omega}$.

Воспользуемся предположением, что количество излучения, распространяющегося вдоль одной прямой одинаково в любой точке прямой. Тогда:

$L_i(\overline{p},\overline{\omega}_i) = L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i)$.

и уравнение рендеринга превратится в уравнение Фредгольма второго рода

$L_o(\overline{p},\overline{\omega}_o) = L_e(\overline{p},\overline{\omega}_o) + \int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i$.

Обозначим интеграл в правой части как $K \circ L_o$. Тогда уравнение рендеринга перепишется, как

$L_o = L_e + K \circ L_o$.

Искать решение будем итерационным методом: выберем какое-либо начальное приближение $L_{o}^{(0)}$. Найдем значение правой части $L_o^{(1)} = L_e + K \circ L_o^{(0)}$, воспользуемся им для поиска следующего приближенного решения $L_o^{(2)} = L_e + K \circ L_o^{(1)} = L_e + K \circ ( L_e + L_o^{(0)} ) = L_e + K \circ L_e + K^2 \circ L_o^{(0)}$ и т.д.

В конечном итоге получим, что $L_o = \sum \limits_{n=0}^\infty K^n \circ L_o^{(0)}$.

Этот метод называется методом последовательных приближений.

1.2.2 Определения

Камера и видовая плоскость

Объект - поверхность в трехмерном пространстве.
Материал объекта - множество BRDF.
Сцена - четверка {камера, объекты, источники света, видовая плоскость}.

1.2.2.1 Камера

Камера - "виртуальный глаз", через который мы видим объекты сцены.

Камера задается положением в пространстве и ортонормированным базисом $(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)$ (локальная система координат). $\overline{u}_c$ направлен вправо относительно наблюдателя, $\overline{v}_c$ - вверх, $\overline{w}_c$ - на наблюдателя. Таким образом, $(\overline{u}_c, \overline{v}_c, \overline{w}_c)$ - правая тройка векторов. Вектор направления камеры в своей системе координат: $(0, 0, -1)$.

1.2.2.2 Видовая плоскость

Перед камерой на расстоянии $d$ поставим пиксельную сетку $w \times h$ с размером пикселя $s \times s$ так, чтобы камера была направлена в ее центр. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

$p(i, j)$, где $i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}$ - пиксел $i$-ой строки снизу $j$-го столбца слева.

Заметим, что с увеличением $d$ уменьшается угол обзора, а $s$ влияет на масштаб.

1.2.2.3 Источники света

Типы источников света:
1) Point light - точка, излучающая свет одиноково во всех направлениях.
2) Directional light - бесконечно удаленный источник света, задается единичным направлением на себя.
3) Area light - объект, излучающий свет одинаково во всех направлениях.

1.2.3 Алгоритм трассировки лучей

1.2.3.1 Генерация луча

Перед камерой на расстоянии $d$ поставим пиксельную сетку $w \times h$ с размером пикселя $s \times s$ так, чтобы камера была направлена в центр сетки. Итоговое изображение будет получено из этой сетки покраской пикселей в нужный цвет.

Пусть $p(i, j)$, где $i=\overline{0,h-1}, \quad j=\overline{0,w-1}$ - пиксел $i$-ой строки снизу $j$-го столбца слева. Проведем пучок лучей из камеры через пиксел в локальной системе координат камеры. Начало каждого луча в точке $\overline{pos}=(0,0,0)$. Найдем вектора направления $\overline{dir}_n$:

$\overline{dir}_n.x = s \cdot (j + \delta_n.x -\frac{w}{2} + \frac{1}{2})$

$\overline{dir}_n.y = s \cdot (i + \delta_n.y -\frac{h}{2} + \frac{1}{2})$

$\overline{dir}_n.z = d$,

где $\delta_n = (\delta_n.x, \delta_n.y) \in [0;1]^2$ - смещения начала n-ого луча.

Нормируем вектора $\overline{dir}_n$ и переведем лучи в глобальную систему координат.

1.2.3.2 Пересечение луча с объектами сцены

Все точки луча $ray(\overline{p}, \overline{d})$ можно представить в виде:

$h(x,y,z)=\overline{p}+t \cdot \overline{d}, \quad t \in [0;\infty)$.

Луч пересекает объект $O_i$ тогда и только тогда, когда $t_i = \inf\{t \gt 0 \, | \quad \overline{p}+t \cdot \overline{d} \in O_i\} \, \lt \infty$

Если луч пересекает объект $O_i$, то $h_i(x,y,z) = \overline{p}+t_i \cdot \overline{d}$ - их первое пересечение, $t_i$ - расстояние от начала луча до точки пересечения.

1.2.3.3 Вычисление энергитической яркости $L_o$, выходящей из точки пересечения

Найдем $T = \{t_i\}$ - параметры пересечения с объектами (см. предыдущий пункт).

$t_{min} = \min \{t_i\}, \quad O_{min} = \{O_i | t_i = t_{min}\}$

Если $t_{min} = \infty$, то луч не пересекает ни один объект и нужно покрасить соответствующий пиксел в черный цвет (цвет фона).

Если $t_{min} \lt \infty$, то нужно найти выходящее излучение (цвет) из точки пересечения в камеру. Выходящее излучение зависит от свойств материала объекта и входящего излучения в точку пересечения.

Чтобы вычислить входящее излучение, находится приближенное значение интеграла $\int_{\Omega_i} f_{r}(\overline{p},\overline{\omega}_i,\overline{\omega}_o)L_o(r_c(\overline{p}, \overline{\omega}_i), -\overline{\omega}_i) \cos\theta_i d\omega_i$ методом Монте-Карло.

Заметим, что каждый луч необходимо продолжить в некотором направлении(а не создавать новый пучок), так как необходимое количество лучей для численного интегрирования можно заранее сгенерировать в камере.

Таким образом, алгоритм моделирует обратное движение пучка лучей света, который пришел в камеру. Пучок лучей движется из камеры и, сталкиваясь с объектами, распространяется в пространство в случайных направлениях, согласно свойствам материалов объектов.

1.2.4 Улучшение визуальных качеств изображения

Чтобы сгладить изображение и избавиться от шума, обычно через пиксел проводят не один луч, а достаточно много лучей, для каждого считают цвет, а потом усредняют по всем лучам (берут среднее арифметическое).

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основные вычисления связаны с поиском пересечения луча с объектами сцены.

1.4 Макроструктура алгоритма

Для каждого пикселя изображения генерируется пучок лучей, проходящих через этот пиксел. Для каждого луча находится первое пересечение с объектами сцены, расчитывается прямое и непрямое входящие излучения и итоговое выходящее. После этого цвет усредняется по всем лучам данного пикселя.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Здесь приведен псевдокод ключевых моментов алгоритма.

//Покраска пикселей изображения

    for (uint r = 0; r < h; r++) //строки
    {
        for (uint c = 0; c < w; c++) //столбцы
        {
            image(r,c) = renderPixel(r, c); //вычисляем цвет в пикселе
        }
    }

    //renderPixel(r, c)

    pixel_color = {0,0,0};

    for (uint j = 0; j < num_rays_per_pixel; j++)
    {
        pp = generatePoint(); //генерируем произвольное смещение внутри пикеля

        //вычисляем координаты точки на полотне
        x = s * (c - 0.5 * w + pp.x);
        y = s * (r - 0.5 * h + pp.y);

        //cоздаем луч
        Ray ray({0,0,0}, normalize({x,y,-d}));
        Ray worldRay = convertToWorldCoords(ray);
        
        pixel_color += traceRay(worldRay, 0) * 1.0 / num_rays_per_pixel; //вычисляем цвет для каждого луча и усредняем
    }

    //traceRay(ray, depth)

    if (depth > max_depth) //превысили максимальную глубину луча, дальше не идем
    {
        return black; //возвращаем черный цвет
    }

    Intersection is = hitObjects(ray); //нашли первое пересечение с объектами сцены и записали информацию о нем в is:
                                       //материал объекта, расстояние, нормаль и т. п.

    if (is) //если есть пересечение
    {
        is.ray = ray; //запомнили луч
        is.depth = depth; // и глубину

        return shade(is); //расчитали цвет в точке пересечения в зависимости
                          //от материала объекта, используя информацию о пересечении
                                        
    }

    return getBackgroundColor(ray); //вернули цвет фона

//shade(is)

//цвета
direct_illumination = {0,0,0};
indirect_illumintaion = {0,0,0};

for (uint i = 0; i < light_count; i++)
{
    if (light[i].isVisible(is)) //если источник света виден из точки пересечения
    {
         direct_illumination = getIllumination(light[i], is); //рассчитываем прямое излучение от i-го источника света
    }
}


if (isReflective(is.object))
{
      indirect_illumination = traceRay(reflecedRay(is.ray), is.depth + 1);
}

//зная входящее излучение, расчитываем выходящее в зависимости от свойств материала объекта
//...

1.6 Последовательная сложность алгоритма

$w$ - ширина полотна

$h$ - высота полотна

$depth_{max}$ - максимальная глубина луча в рекурсии (помимо первичного луча)

$N_{obj}$ - количество объектов сцены

$N_{lights}$ - количество источников света сцены

$N_{rays}$ - число лучей на один пиксел

На каждой итерации ищется пересечение луча со всеми объектами: $O(N_{obj})$

После нахождения точки пересечения, выясняется, виден ли каждый источник света из этой точки. Для этого нужно найти первое пересечение теневого луча (начало в точке пересечения, направлен к источнику света) и сравнить расстояние до точки пересечения с расстоянием до источника света. Для всего этого требуется $O(N_{lights} \cdot N_{obj})$ операций.

Для каждого луча понадобится $O(depth_{max}(N_{obj} + N_{obj} \cdot N_{lights})) = O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights})$ операций.

Всего лучей, выходящих из камеры $w \cdot h \cdot N_{rays}$.

В итоге получаем $O(depth_{max}\cdot N_{obj} \cdot N_{lights} \cdot w \cdot h \cdot N_{rays})$ операций.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход алгоритму подается описание сцены (описание камеры, видовой плоскости, объектов и их материалов, источников света).
Выходные данные алгоритма - изображение.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

RenderMan

V-Ray

NVIDIA IRay

NVIDIA mental ray

Hydra Renderer

3 Литература

http://www.scratchapixel.com/

http://www.raytracegroundup.com/

http://www.ray-tracing.ru/

4 Полученные изображения

• 
• 
• 
• 
• 
•