Участник:Valkyrie/Адаптивное интегрирование
| Адаптивное интегрирование |
Автор: В.А. Мастинен
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Адаптивное интегрирование - это метод численного интегрирования, в котором интеграл функции [math]f(x)[/math] аппроксимируется с использованием статических квадратурных формул [1] на адаптивно уточненных подынтервалах области интегрирования. Как правило, адаптивные алгоритмы столь же эффективны, как и традиционные алгоритмы для «достаточно гладких» подынтегральных функций, но также неэффективны для «плохих» подынтегральных функций, на которых традиционные алгоритмы терпят неудачу.
Из анализа погрешностей методов численного интегрирования следует, что точность получаемых результатов зависит как от характера изменения подынтегральной функции, так и от шага интегрирования. При этом ясно, что для достижения сравнимой точности при интегрировании слабо меняющейся функции шаг можно выбирать большим, чем при интегрировании резко меняющихся функций.
На практике нередко встречаются случаи, когда подынтегральная функция меняется по-разному на отдельных участках отрезка интегрирования. Это обстоятельство требует такой организации численного алгоритма, при котором он автоматически приспосабливался к характеру изменения функции -вводил разные значения шага интегрирования на отдельных участках отрезка интегрирования. Это позволяет уменьшить машинное время без потери точности результатов расчета. Такой подход используется обычно при задании подынтегральной функции [math]f(x)[/math] в виде формулы, а не в табличном виде.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные : интегрируемая функция [math]f(x)[/math], определенная на отрезке [math][a,b][/math], допустимая погрешность интегрирования [math]\varepsilon[/math].
Вычисляемые данные : приближенное значение [math]Q[/math] интеграла [math]\int\limits_a^b f(x)\,dx[/math].
Пусть [math]Q(a,b)[/math] - квадратурная формула, аппроксимирующая значение интеграла на отрезке [math][a,b][/math].
Оценим [math]\tau \approx |Q(a,b) - \int\limits_a^b f(x)\,dx|[/math].
Если [math]\tau \gt \varepsilon[/math], поделим отрезок [math][a,b][/math] пополам и применим этот же алгоритм к каждому из отрезков [math][a,\frac{a+b}2][/math] и [math][\frac{a+b}2,b][/math], задав погрешность интегрирования на каждом из отрезков [math]\frac{\varepsilon}2[/math].
Если в качестве квадратурной формулы выбрать формулу Симпсона, то [math]\tau[/math] можно положить равным [math]\frac{|Q(a,c) + Q(c,b) - Q(a,b)|}{15}[/math] ([2]).
Далее в качестве квадратурной формулы будет использоваться формула Симпсона.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Основную часть алгоритма составляют вычисления квадратурной формулы, следовательно, и значений интегрируемой функций в трех точках, на каждом отрезке интегрирования. Так же на каждом отрезке подсчитывается ошибка интегрирования, которая представляет собой разность обычной квадратурной формулы [math]Q(a,b)[/math] и уточненной [math]\tilde{Q}(a,b) = Q(a,c) + Q(c,b)[/math].
1.4 Макроструктура алгоритма
Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть алгоритма составляют вычисление квадратурной формулы и подсчет ошибки интегрирования на текущем отрезке интегрирования. После чего решается уточнять ли значение квадратурной формулы на данном отрезке или нет.
1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма
Последовательный алгоритм представляет собой рекурсивный подсчет приближенного значения интеграла на отрезке с заданной допустимой погрешностью. Начальным отрезком является весь отрезок интегрирования. Далее, на каждом шаге рекурсии происходит подсчет трех квадратурных формул - [math]Q(a,b)[/math], [math]Q(a,c)[/math] и [math]Q(c,b)[/math], а также оценивается погрешность интегрирования [math]\tau = \frac{|Q(a,c) + Q(c,b) - Q(a,b)|}{15}[/math]. Если [math]\tau \lt \varepsilon[/math], тогда приближенным значением интеграла на данном отрезке считаем величину [math]Q(a,c) + Q(c,b)[/math]. Иначе рекурсивно считаем таким же образом приближенные значения интеграла на отрезках [math][a,c][/math] и [math][c,b][/math], задав допустимой погрешностью на каждом отрезке величину [math]\frac{\varepsilon}{2}[/math], а их сумму примем за результат.
