Участник:Nikita270a

Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^2)$
Объём входных данных	$\frac{n(n + 1)}{2}$
Объём выходных данных	$k(n + 1)$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(k)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n^2)$

Авторы: Ялексейчук Н.Н 616, Ястребов К.С. 609.

1 Общее описание алгоритма.

Алгоритм Ланцоша ищет собвственные значения и собственные векторы для симетричной матрицы A вещественных чисел. Является итерацонным алгоритмом. Алгоритм Ланцоша использует степенной метод ($b_{k+1} = \frac{Ab_k}{||Ab_k||}$) для поиска наибольших собственных значений и векторов матриц.

В отличие от прямых алгоритмов требует мешьше памяти и мощности, что является несомненным плюсом для больших матриц.

Несмотря на свою скорость работы и экономию памяти, сначала не был популярным алгоритмом из – за недостаточной вычислительной устойчивости. В 1970 году Ojalvo и Newman показали способ сделать алгоритм достаточно устойчивым. В этой же статье алгоритм был применен к расчету инженерной конструкции с большим количеством узлов, которые подвергались динамической нагрузке.

2 Математическое описание алгоритма

Памятка: Степенной метод нахождения наибольшего собственного числа матрицы можно сформулировать в предельном виде: если $b_0$ – случайный вектор, и $b_n+1 = Ab_n$, тогда для больших чисел n предел $x_n/||x_n||$ стремится к нормированному наибольшему собственному вектору.

Алгоритм Ланцоша комбинирует метод Ланцоша для нахождения крыловского подпространства и метод Релэя – Ритца.

Подпространство Крылова для степенного метода: $K_m(v,A) = span[x_1, Ax_1, A^2x_1, ..., A^{k-1}x_1]$

В качестве входных данных для алгоритма Ланцоша подаются квадратная матрица размерности $n$X$n$: $A=A^T$; а так же вектор начального приближения $b$. Метод осуществляет поиск трехдиагональной симметричной матрицы $T_k=Q_k^TAQ_k$. Причем собственные значения $T_k$ таковы, что приближают собственные значения исходной матрицы $A$. То есть на каждом $k$-м шаге из ортонормированных векторов Ланцоша строится матрица $Q_k = [q_1,q_2,...,q_k]$ и в качестве приближенных собственных значений матрицы $A$ принимаются числа Ритца. Пусть $T_k=VAV^T$ есть спектральное разложение матрицы $T_k$, столбцы матрицы $Q_kV$ рассматриваются как приближения к соответсвующим собственным векторам матрицы $A$:

3 Схема

Input: A, b (random vector with unit norm)

$\begin{align} q_1 = b/||b||_2, \beta_0 = 0, q_0 = 0 \\ for j = 1 ,...,k \\ q_1&=b/||b||,\beta_0=0,q_o=0. \\ z&=Aq_j, \\ \alpha_j&=q_j^Tz, \\ z&=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}, \\ \beta&=||z||,\\ q_{j+1}&=z/\beta_j, \quad j \in [1, k]. \end{align}$

5 Библиотеки реализующие алгоритм

The IETL Project http://www.comp-phys.org/software/ietl/ C++

NAG Library http://www.nag.com/content/nag-library C, C++, Fortran, C#, MATLAB, R

ARPACK https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/arpack/arpack.html MATLAB

GrapLab https://turi.com/products/create/open_source.html C++

С частично переортаганализацией

LANSO/PLANSO http://web.cs.ucdavis.edu/~bai/ET/lanczos_methods/overview_PLANSO.html Fortran (уже распараллелена)