Участник:Danyanya/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)

Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(k*n^2)$
Объём входных данных	$\frac{n*(n + 1)}{2}$
Объём выходных данных	$k*(n + 1)$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(k* \log(n))$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n^2)$

Основные авторы описания: Д.Р.Слюсарь (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 2.7), М.А.Григорьев (1.2, 1.7, 1.8, 1.9, 2.7, 3)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша поиска собственных значений был опубликован Корнелием Ланцошем в 1950 году . Этот итерационный алгоритм применим только к эрмитовым матрицам $A$. Метод позволяет за $k$ итераций вычислять $k$-ое приближение собственных значений и собственных векторов исходной матрицы $A$.

В данной статье рассмотрен упрощенный вариант алгоритма Ланцоша, подразумевающий отсутствие влияния ошибок округления на вычислительный процесс.

Данный алгоритм является неустойчивым, вследствие чего на практике применяется модифицированный алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией предложенный в 1970 Ojalvo и Newman.

1.2 Математическое описание алгоритма

На вход алгоритма подается эрмитова матрица $A = A^\dagger$ (в вещественном случае матрица симметрична) ,

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1\ n-1} & a_{1\ n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2\ n-1} & a_{2\ n} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3\ n-1} & a_{3\ n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{1\ n-1} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n-1} & a_{n-1\ n-1} & a_{n-1\ n} \\ a_{1\ n} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n} & a_{n-1\ n} & a_{n\ n} \\ \end{pmatrix}$

Алгоритм Ланцоша соединяет в себя метод Ланцоша построения крыловского подпространства с процедурой Релея-Ритца[1]. Иными словами, из оргонормированных векторов Ланцоша на каждой итерации строится матрица $Q_k = [q_1, q_2, \dots, q_k]$ размерности $n \times k$. В качестве приближенных собственных значений матрицы $A$ берутся числа Ритца, т.е. собственные значения симметричной трехдиагональной матрицы $T_k = Q^T_k A Q$:

$T_k = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & 0 & \dots & 0 \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \dots & 0 \\ 0 & \beta_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \beta_{k-1} \\ 0 & \dots & \dots & \beta_{k-1} & \alpha_k \end{pmatrix}$

На выходе алгоритма получается собственные векторы и вектор собственных значений матрицы $T_k$, с помощью которых и будет найдены искомые собственные векторы исходной матрицы $A$.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром на каждой итерации является вычисление произведения исходной матрицы $A$ на вектор $q_i$ с предыдущей итерации

$z = Aq_i$

1.4 Макроструктура алгоритма

Исходя из предложенной последовательной реализации метода, макрооперациями в алгоритме являются:

• Процедура итеративного построения трехдиагональной симметричной матрицы, включающая:
  • умножение матрицы на вектор (состоит из умножения вектора на число и сложения векторов);
  • скалярное произведение векторов;
  • линейная комбинация векторов (сложение/умножение на вещественные числа);
  • вычисление нормы (скалярное произведение векторов и вычисление квадратного корня);
• Вычисление собственных значений и собственных векторов полученной в ходе работы трехдиагональной симметричной матрицы.

При этом, первая макрооперация (построение трехдиагональной матрицы) выполняется строго последовательно. Единственное, что можно распараллелить - это умножение матрицы на вектор. Однако это операция достаточно легковесная, если оперировать, например, разреженной матрицей.

Вычисление собственных значений полученной матрицы на практике выполняется с помощью QR-алгоритма и выходит за рамки описанного алгоритма.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Исходные данные: симметричная матрица $A$, случайный вектор $b$.

Вычисляемые данные: собственные вектора матрицы $T_k$ являющиеся столбцами матрицы $Q_k V$, и матрица собственных значений $\Lambda$, где $V, \Lambda$ из спектрального разложения $T_k = V\Lambda V^T$.

Алгоритм на псевдокоде:

$\begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & i = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_i\\ & \alpha_i = q^T_i z\\ & z = z - \alpha_i q_i - \beta_{i-1}q_{i-1}\\ & \beta_i = \|z\|_2\\ & If \; \beta_i == 0 \; then \\ & \; \; \; \; exit\\ & else \\ & \; \; \; \; q_{i+1} = z / \beta_i \\ end \; & for \end{align}$

После этого вычисляются собственные значения и собственные вектора симметричной трехдиагональной матрицы $T_k$ наиболее удобным образом.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма рассчитана на основе приведенной выше реализации алгоритма. Исходя из псевдокода последовательно выполняются следующие операции:

• Умножение квадратной матрицы $n * n$ на вектор длины $n$. Требует $n * n$ умножений и сложений;
• Скалярное произведение векторов длины $n$. Требует $n$ умножений и сложений;
• Сложение векторов длины $n$. Требует $n$ сложений;
• Умножение вектора длины $n$ на скаляр. Требует $n$ умножений;
• Нахождение квадратичной нормы вектора длины $n$. Требует $n$ умножений и сложений + извлечения квадратного корня;
• Нахождение собственных значений и векторов трехдиагональной симметричной матрицы размера $k \times k$. Наиболее эффективный метод метода «Разделяй-и-властвуй» в среднем требует $~O(k^{2.3})$ операций.

Суммарное число операций в алгоритме без учета вычисления собственных значений в трехдиагональной памяти:

• $k*n^2 + n * (4 * k + 1)$ операций умножения;
• $k*(n^2+3*n-2) + n-1$ операций сложения/вычитания;
• $n*(k + 1)$ операций деления;
• $k + 1$ операций вычислений квадратного корня.

Таким образом, в худшем случае, алгоритм Ланцоша имеет сложность $O(k * n^2)$ и односится к квадратичным алгоритмам.

1.7 Информационный граф

Информационный граф алгоритма можно разбить на две части:

• Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных.
• Граф линейного оператора.

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма.
$\|x\|$ — вычисление нормы,
$/$ — операция деления,
$\mathsf{F}$ — вычисление линейной комбинации векторов,
$*$ — операция умножения,
$\mathsf{Ax}$ — линейный оператор (Рисунок 2),
▽ - условие выхода $\mathsf{(\beta_i = 0)}$

Рисунок 2. Информационный граф линейного оператора $\mathsf{Ax}$.
$+$, $*$ - операции сложения и умножения.

Рисунок 3. Граф алгоритма с указанием входных и выходных данных.
$\|x\|$ — вычисление нормы,
$/$ — операция деления,
$\mathsf{F}$ — вычисление линейной комбинации векторов,
$*$ — операция умножения,
$\mathsf{Ax}$ — линейный оператор (Рисунок 2),
▽ - условие выхода $\mathsf{(\beta_i = 0)}$,
$\mathsf{A, b, q_0 = 0, \beta_0 = 0}$ — входные данные,
$\mathsf{\alpha_i, \beta_i}$ — выходной результат.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Важно заметить, что итерации алгоритма выполняются строго последовательно, а распараллеливание возможно только внутри итераций.

• Умножение $A^{n * n}$ на вектор длины $n$ требует $n$ ярусов умножений и сложенийж
  • При этом сложение элементов вектора длины $n$ можно выполнить за $\log(n)$ [2];
• Остальные операции в рамках итерации выполняются последовательно (вычисление значений векторов может быть выполнено за 1 ярус):
• Ресурс параллелизма алгоритма вычисления собственных значений зависит от используемого алгоритма.

Исходя из вышеизложенного, алгоритм Ланцоша обладает $O(k * \log n)$-ой сложностью по высоте ЯПФ и $O(n^2)$-ой по ширине ЯПФ.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: симметричная вещественная матрица $A$, случайный вектор $b$, число итераций $k$.

Объём входных данных: $n * (n + 1) + 1$.

Выходные данные: вектор собственных значений $\Lambda$, матрица собственных векторов $E$.

Объём выходных данных: $k * (n + 1)$.

1.10 Свойства алгоритма

• Сложность последовательного алгоритма $O(k*n^2)$;
• По классификации по высоте ЯПФ Алгоритм Ланцоша является алгоритмом со сложностью $O(k * \log n)$, при классификации по ширине ЯПФ его сложность $O(n^2)$;
  • Таким образом, отношение последовательной сложности к параллельной $\frac{kn^2}{k \log{n}}$;
• Вычислительная мощность алгоритма Ланцоша без переортогонализации из последовательной сложности алгоритма $\frac{k*(2*n^2+8*n-1)+3*n}{n^2+2*k}$. При $k$ много меньше $n$ вычислительная мощность ≈ $2*k$;
• Алгоритм Ланцоша без переортогонализации не является детерминированным из-за того, что возможно выполнение меньшего числа итераций алгоритма, из-за того, что все собственные значения уже вычислены;
• Также алгоритм Ланцоша быстро сходится при вычислении собственных значений матрицы $A$, находящихся на границе ее спектра (в $T_{j}$ в первую очередь появляются максимальные по модулю собственные значения);
• Из-за использования точной арифметики алгоритм Ланшоца может найти кратные собственные значения, которые на деле оными не являются;
• Нестабильность алгоритма (эффект ложной сходимости) присуще плавающей арифметике, из-за ошибок округления в которой на очередном этапе может быть построен линейно зависимый от исходных новый вектор, что повлечет невозможность дальнейшего приближения собственных значений.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Для исследования масшабируемости алгоритма была написана реализация[3] на языке C++ с использованием MPI. Реализация была протестирована на суперкомпьютере Ломоносов[4].

Были исследованы:

• время выполнения программы в зависимости от размера входных данных (матрицы);
• время выполнения в зависимости от размера параллельных нод.

Дополнительно было измерено время работы исходя из оптимизационных флагов компилятора GCC [5].

Параметры запуска алгоритма:

• размер матрицы от 20000 до 150000 с шагом 2500;
• количество процессоров от 8 до 128 с шагом 8.

На рисунке 2.4.1 ...

На рисунке 2.4.2 ...

Как видно из графиков выше,

2.7 Существующие реализации алгоритма

В настоящее время существует множество реализаций алгоритма Ланцоша итеративного поиска собственных значений, как входящих в официальные дистрибутивы для вычислений (ARPACK), так и неофициальных реализаций, выложенных на Github. Среди них:

1. The IETL Project

2. MatLab

3. ARPACK

4. Julia Math

Также существуют официальные реализации на других языках (например R). Что касается встроенной возможности параллелизма - самыми стабильными в этом плане являются ARPACK, а также IETL.

---

Для проверки масшабируемости, алгоритм был реализован на языке C++ с применением MPI [6].