Алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией

Эта работа прошла предварительную проверку Дата последней правки страницы: 07.12.2016 Данная работа соответствует формальным критериям. Проверено ASA.

[math] \beta_0=0,q_0=0[/math]
[math] q_{1} = \frac{b_{j}}{\|b\|_2}[/math], где [math] \|b\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} b_j^2}[/math]
[math] for\, j=1\,\, to\, \, k\, \, do:[/math]
    [math]z=Aq_j,  [/math]
    [math]\alpha_j=q_j^Tz, [/math]
    [math]z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1},  [/math]
    [math]for\, i=1\,\, to\, \, j-1\, \, do: [/math]
        [math]if\,  \beta_j|v_i(j)| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\|T_j\| [/math]
            [math]z = z-(y^T_{i,j},z)y_{i,j} [/math]
    [math]\beta_{j}=\|z\|_2 [/math]
    [math]q_{j+1}=z/\beta_{j}, [/math]
    

$A$ к вектору $q_i$.

[math]i.2\, \alpha_i = \sum\limits_{j=1}^{n}q_{i_j} z_j[/math] #Получаем результат скалярного произведения векторов [math]q_i[/math] и [math]z[/math].

$i.3\, z_j = z_j - \alpha_i q_{i_j} - \beta_{i-1}q_{i-1_j}, \, j = 1,\,\dots\,, n$ #Вычисляем линейную комбинацию векторов.

$i.4\, \beta_i = \|z\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} z_j^2}$ #Считаем норму вектора $z$.

$i.5$ Проверка равенства $\beta_i == 0$ # Если норма оказалась равной нулю, то завершаем итерации и переходим к вычислению собственных векторов и собственных значений полученной матрицы. В обратном случае, продолжаем выполнения итераций.

$i.6\, q_{i+1_j} = \frac{z_j}{\beta_i}, \; j = 1,\, \dots \,, n$ #Нормируем вектор $z$.

$i.7\,$ Если выполнили $k$ итераций, то завершаем выполнение итераций, переходим к следующему шагу. Иначе начинаем последующую итерацию цикла.

$4.$ Вычисляем собственные значения и собственные вектора полученной матрицы $T_k$.