Участник:Grinch96/QR-факторизация методом Грама-Шмидта с последующей реортогонализацией

QR-факторизация
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math]n^2[/math]
Объём выходных данных	[math]2\cdot n^2[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

Автор: Г. А. Балыбердин

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Пусть [math]A = (a_1, ..., a_n)[/math] - вещественная матрица [math]n × n[/math], определитель которой не равен [math]0[/math]. Во многих приложениях требуется решать линейную систему [math]Ax=b[/math] c плохо-обусловленной матрицей [math]A[/math]. При решении данной задачи, чтобы не увеличивать число обусловленности матрицы [math]A[/math], ее можно представить в виде [math]A=QR[/math], где матрица [math]Q \in \mathbb{R}^{n×n}[/math] состоит из ортонормированных строк, а матрица [math] R \in \mathbb{R}^{n×n}[/math] является верхнетреугольной. В итоге мы получаем так называемую [math]QR[/math]-факторизацию.

Чтобы построить [math]QR[/math]-факторизацию можно воспользоваться процессом ортогонализации Грама-Шмидта, однако в условиях машинной арифметики, матрица [math]Q[/math] может получиться далекой от ортогональной.Чтобы этого избежать, на определенных итерациях нужно проводить процесс реортогонализации .

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: квадратная матрица [math]A[/math] порядка [math]n[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]), определитель которой не равен [math]0[/math].

Вычисляемые данные: верхнетреугольная матрица [math]R[/math] порядка [math]n[/math] (элементы [math]r_{ij}[/math]), унитарная матрица [math]Q[/math] порядка [math]n[/math] (элементы [math]q_{ij}[/math]); выполняется соотношение [math]QR=A[/math].

Формулы процесса ортогонализации:

[math] \begin{align} & p_{j} = a_{j} - \sum_{i=1}^{j-1} q_{i} (q_{i}^{T} a_{j}), \\ & q_{j} = p_{j} / ||p_{j}||_{2}, \\ & r_{ij} = q_{i}^{T} a_{j},\quad j = 1, \ldots , i - 1.\\ \end{align} [/math]

Здесь [math]q_{i}, \, a_{i} [/math] столбцы матриц [math] Q, \, A [/math] соответственно.

На [math]m[/math]-ом шаге получаем [math]p_{m} \in \mathbb{R}^{n}[/math]. Если [math]||a_{m}||_{2}/||p_{m}||_{2} \gt k[/math], запускается процесс реортогонализации. [math]k[/math] произвольная и задает точность ортогональности матрицы [math]Q[/math]. В посвященной методу реортогонализации статье [math]k[/math] рекомендуется брать равным [math]10[/math], однако приводятся примеры алгоритмов, где [math]k=\sqrt{2}[/math] или [math]k=\sqrt{5}[/math]. Мы исследуем [math]k=10[/math].

Суть процесса реортогонализации - это процесс ортогонализации Грама-Шмидта, примененный повторно к вектору [math]p_{m}[/math] на [math]m[/math]-оm шаге алгоритма. Более формально:

[math] \begin{align} & \tilde{p}_{m} = p_{j} - \sum_{i=1}^{m-1} q_{i} (q_{i}^{T} p_{m}), \\ & q_{m} = \tilde{p}_{m} / ||\tilde{p}_{m}||_{2}, \\ & \tilde{r}_{mj} = q_{j}^{T} p_{m}, \quad j = 1, \ldots , m - 1, \\ & r_{mj} = \tilde{r}_{mj} + r_{mj}^{0}, \quad j = 1, \ldots , m - 1, \\ & r_{mm} = ||\tilde{p}_{m}||_{2}. \end{align} [/math]

Здесь [math]\tilde{q}_{i}[/math] столбцы матриц [math] \tilde{Q}_{m}[/math], [math]r_{mj}^{0}[/math] - элементы матрицы [math]R[/math], вычисленные до реортогонализации.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма, если не требуется реортогонализация, состоит из вычисления:

• [math]\dfrac{n(n+1)}{2}[/math] скалярных произведений векторов, включая вычисление длины вектора;

• [math]\dfrac{(n-1)n}{2}[/math] умножений векторов на число.

На каждом шаге реортогонализации добавляется [math] j-1 [/math] вычислений скалярных произведений векторов на число и столько же умножений вектора на число. Здесь реортогонализация производится на [math]j[/math]-ом шаге. Однако сколько раз алгоритм будет реортогонализовывать вектора зависит от свойств матрицы.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть процесса составляют скалярные произведения векторов и умножения вектора на число:

[math] \begin{align} & p_{j} = a_{j} - \sum_{i=1}^{j-1} q_{i} (q_{i}^{T} a_{j}), \\ & q_{j} = p_{j} / ||p_{j}||_{2}. \end{align} [/math]

как если алгоритм реортогонализует повторно вектора, так и без реортогонализаций.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения процесса следующая:

1. [math] q_1 = \frac{a_1}{||a_1||} [/math]

Далее для всех [math] i = 2, n [/math]:

2. [math] r_{ij} = q_{i}^{T} a_{j},\quad j = 1, \ldots , i - 1 [/math]

3. [math] p_{j} = a_{j} - \sum_{i=1}^{j-1} q_{i} r_{ij},\quad j = 1, \ldots , i - 1 [/math] </math>

Если [math]||a_{j}||_{2}/||p_{j}||_{2} \gt k[/math], выполнить 4, 5, 6. Иначе перейти сразу к 7:

4. [math] r_{ij}^{0} = q_{i}^{T} p_{j},\quad j = 1, \ldots , i - 1 [/math]

5. [math] p_{j} = p_{j} - \sum_{i=1}^{j-1} q_{i} r_{ij}^{0}, \quad j = 1, \ldots , i - 1 [/math]

</math>

6. [math] r_{ij} = r_{ij}^{0} + r_{ij},\quad j = 1, \ldots , i - 1 [/math]

7. [math] r_{jj} = ||p_{j}||_{2} [/math]

8. [math] q_{j} = p_{j} / r_{jj} [/math]

3 Литература

<references \>

[[Категория:]]

[[Категория:]]