Участник:Ivanov.kir.m/Быстрое дискретное преобразование Фурье

Алгоритм Кули-Тьюки одномерного преобразования Фурье для действительных чисел
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O (n log_{2} n)$
Объём входных данных	$n$ действительных чисел
Объём выходных данных	$\lfloor n/2 \rfloor+1$ комплексных чисел
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O (log_{2} n)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$n$

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого  вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем $O(N^{2})$, требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность $O(N\log(N))$. Cуществует несколько различных алгоритмов для вычисления ДПФ считающимся быстрым преобразование Фурье:

• Алгоритм Кули-Тьюки [1]
• Алгоритм Гуда-Томаса [2]
• Алгоритм Бруна [3]
• Алгоритм Блюштейна [4]

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Одним из вариантов быстрого преобразования Фурье для вектора действительных чисел с размерностью равной степени двойки является алгоритм Кули-Тьюки. Отличительной особенностью данного алгоритма является то, что он обходится без использования специфических приемов, использующихся именно для степеней четверки, восьмерки и т.п. Однако благодаря тому, что на вход данному алгоритму подается вектор чисто вещественных чисел, выходной вектор удовлетворяет эрмитовой избыточности (Hermitian redundancy) , т.е. $out[i]$ является сопряженным с $out[n-i]$. Это обстоятельство позволяет достичь роста скорости и снижения затрат памяти примерно в 2 раза по сравнению с комплексным аналогом алгоритма.

1.1.1 Математическое описание алгоритма

Входные данные: вектор действительных чисел $a = (a_1,a_2,...,a_n)$.

Выходные данные: вектор комплексных чисел $b = (b_1,b_2,...,b_{\lfloor n/2 \rfloor+1})$.

Замечание: поскольку алгоритм Кули-Тьюки применим только к векторам размерности степени двойки, вектора иной размерности необходимо дополнять до ближайшей степени двойки. Данный факт делает алгоритм Кули-Тьюки не самым эффективным алгоритмом БПФ, поскольку необходимость дополнения до степени двойки может сильно усложнить задачу.

1.1.1.1 Рекурсивное описание

Алгоритм: 1. Входной вектор $a = (a_1,a_2,...,a_n)$ дополняется элементами до ближайшей степени двойки Вектор записывается по строкам по 2 элемента в каждой. После этого над каждой строкой выполняется преобразование Фурье порядка 2, получившиеся элементы умножаются на поворотные множители $exp (2 \pi i(m-1)(j-1)/n)$ ($m$ - номер строки, $j$ - номер столбца), после чего выполняется БПФ порядка $n/2$ над каждым из столбцов. Поскольку для 1-го столбца поворотные множители равны 1, то реально умножение на них не выполняется, а умножения на поворотные множители элементов второго столбца соединяются с преобразованием Фурье порядка 2. Эта комбинация, называемая "бабочкой" в среде специалистов по БПФ, и является основной операцией в простом алгоритме Кули-Тьюки. "Бабочка" состоит из вычисления суммы двух комплексных чисел, а также из вычисления их разности с последующим умножением на комплексное число. Всего на каждом шаге выполняется $n/2$ "бабочек", а шагов - $l-1$. Последний, $l$-й шаг вычисляет только суммы и разности.

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Быстрое преобразование Фурье – Электрон. дан. – URL Быстрое преобразование Фурье (дата обращения 17.09.2016)