Участник:Odbaev/Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения (2)
Основные авторы описания: О.Д.Баев, А.С.Шевелев
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел и собственных векторов матрицы. Был разработан в конце 1950-х годов независимо В.Н. Кублановской и Дж. Фрэнсисом.
1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть A — вещественная матрица, для которой мы хотим найти собственные числа и векторы. Положим A0=A. На k-ом шаге (начиная с k = 0) вычислим QR-разложение Ak=QkRk, где Qk — ортогональная матрица (то есть QkT = Qk−1), а Rk — верхняя треугольная матрица. Затем мы определяем Ak+1 = RkQk.
Заметим, что
- [math] A_{k+1} = R_k Q_k = Q_k^{-1} Q_k R_k Q_k = Q_k^{-1} A_k Q_k = Q_k^{T} A_k Q_k, [/math]
то есть все матрицы Ak являются подобными, то есть их собственные значения равны.
Пусть все диагональные миноры матрицы A не вырождены. Тогда последовательность матриц Ak при k→∞ сходится по форме к клеточному правому треугольному виду, соответствующему клеткам с одинаковыми по модулю собственными значениями.
Для того, чтобы получить собственные векторы матрицы, нужно перемножить все матрицы Qk.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Основными вычислительными ядрами алгоритма являются:
- QR-разложение
- Умножение матриц
1.4 Макроструктура алгоритма
QR-алгоритм на каждой итерации использует следующие макрооперации:
- QR-разложение
- Умножение плотных матриц