Однокубитное преобразование вектора-состояния

1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм производит моделирование действия однокубитного квантового вентиля на вектор-состояние.

1.2 Математическое описание

Исходные данные: Целочисленные параметры $n -$ число кубитов (необязательно) и $k -$ номер кубита, над которым производится преобразование. Комплексная матрица $U = \begin{pmatrix} u_{00} & u_{01}\\ u_{10} & u_{11} \end{pmatrix}$ однокубитного преобразования размера $2 \times 2.$ Комплексный вектор $v$ размерности $2^n,$ задающей начальное состояние многокубитной системы.

Вычисляемые данные: комплексный вектор $w$ размерности $2^n,$ соответствующий состоянию после преобразования.

Формулы метода:

Состояние после действия преобразования $U$ на $k-$й кубит имеет вид $v_{out} = I_{2^{k-1}}\otimes U \otimes I_{2^{n-k}},$ где $I_{j} -$ единичная матрица размерности $j,$ а $\otimes -$ тензорное произведение (произведение Кронекера).

Однако, элементы итогового вектора можно записать и в прямом виде, что более удобно для вычислений:

$w_{i_1i_2\ldots \i_k \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0}^1 u_{i_k j} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots i_n} = u_{i_k 0} v_{i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n} + u_{i_k 1} v_{i_1i_2\ldots 1_k \ldots i_n}$

Индекс-кортеж $i_1i_2\ldots i_n$ представляет собой двоичную запись индекса элемента в массиве.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой независимое вычисление всех $2^n$ элементов вектора $w.$ Вычисление каждого элемента требует две операции умножения и одну операцию сложения. Кроме того необходимо вычислять индексы типа $i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n,$ а также значение бита $i_k,$ что требует побитовых операций.