Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции

Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего $k-1$) сортировки(функция sort).

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Обозначим через $D_k(n)$ сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с $n$ вершинами на $k$ частей.

Введем $D(n) = D_k(n)$ при $k = n$. Для $D(n)$ верно следующее рекуррентное равенство:

$\begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array}$, где $S(n)$ это сложность алгоритма сортировки массива из $n$ элементов.

Пусть $S(n) = O(n\log{n})$, например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве $D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon}$.

Для $D(n)$ есть точное значение: $\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})$.

$D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})$. Если использовать сортировку со сложностью $S(n) = O(n\log{n})$, то $D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(n\log{\frac{n^{\log_2{k}}}{2^\frac{\log_2{k}(\log_2{k}+1))}{2}}}) =$ $O(n(\log{n}\log{k} - \frac{\log^2_2{k}}{2})) = O(n\log{n}\log{k})$.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: граф $G = (V, E)$, вложенный в $\mathbb{R}^N$, и число $k$ частей (доменов), на которое нужно разбить граф. Таким образом, помимо матрицы смежности (или любого другого представления графа) для каждой вершины $v \in V$ задан набор её координат $v = (v_1, \dots, v_N) \in \mathbb{R}^N$, поэтому $V$ задаётся массивом $N$-мерных векторов или матрицей размера $|V| \times N$.

Объём входных данных: $N|V| + |G|$, где $|G|$ - объём данных, представляющих граф $G$, который в общем случае зависит от выбранного представления.

Выходные данные: $k$ доменов графа $G$, задающих его декомпозицию.

Объём выходных данных: $|V|$ - для каждого домена достаточно хранить соответствующие вершинам из этого домена индексы строк в матрице, представляющей множество вершин.