Метод Хаусхолдера (отражений) приведения матрицы к хессенберговой (почти треугольной) форме: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [досмотренная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) (Frolov переименовал страницу Метод Хаусхолдера (отражений) приведения матрицы к хессенберговой (почти треугольной) форме в [[Классический…) |
Frolov (обсуждение | вклад) м |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | {{level-m}} | |
| + | |||
| + | '''Метод Хаусхолдера''' (в советской математической литературе чаще называется '''методом отражений''') используется для разложения матриц в виде <math>A=QRQ^T</math> (<math>Q</math> - ортогональная, <math>R</math> — правая почти треугольная матрица)<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>. При этом матрица <math>Q</math> хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref>. Каждая из матриц отражения может быть определена одним вектором. Это позволяет в классическом исполнении метода отражений хранить результаты разложения на месте матрицы A с использованием одномерного дополнительного массива. | ||
| + | |||
| + | Для выполнения разложения матрицы в произведение хессенберговой и двух ортогональных используются попеременные умножения слева и справа её текущих модификаций на матрицы Хаусхолдера (отражений). | ||
| + | |||
| + | {{Шаблон:Матрица отражений}} | ||
| + | |||
| + | Кроме [[Классический точечный метод Хаусхолдера (отражений) приведения матрицы к хессенберговой (почти треугольной) форме|классического метода]], есть и другие варианты метода Хаусхолдера, отличающиеся либо наличием блочных операций, либо другими нюансами. | ||
| + | |||
| + | = Литература = | ||
Версия 17:24, 20 ноября 2017
Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде [math]A=QRQ^T[/math] ([math]Q[/math] - ортогональная, [math]R[/math] — правая почти треугольная матрица)[1]. При этом матрица [math]Q[/math] хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения[2]. Каждая из матриц отражения может быть определена одним вектором. Это позволяет в классическом исполнении метода отражений хранить результаты разложения на месте матрицы A с использованием одномерного дополнительного массива.
Для выполнения разложения матрицы в произведение хессенберговой и двух ортогональных используются попеременные умножения слева и справа её текущих модификаций на матрицы Хаусхолдера (отражений).
Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида [math]U=E-2ww^*[/math], где [math]w[/math] - вектор, удовлетворяющий равенству [math]w^{*}w=1[/math]. Является одновременно унитарной ([math]U^{*}U=E[/math]) и эрмитовой ([math]U^{*}=U[/math]), поэтому обратна самой себе ([math]U^{-1}=U[/math]).
Кроме классического метода, есть и другие варианты метода Хаусхолдера, отличающиеся либо наличием блочных операций, либо другими нюансами.
