Метод Якоби (вращений) для решения спектральной задачи у симметричных матриц: различия между версиями
[досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) м |
Frolov (обсуждение | вклад) м |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Метод Якоби''' — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров. | '''Метод Якоби''' — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров. | ||
− | Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице <math>A = | + | Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице <math>A = A^{(0)}</math> построить последовательность ортогонально подобных матриц <math>A^{(1)},A^{(2)},\dotsc,A^{(m)}</math>, сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения <math>A</math>. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения <math>J_i</math>, такая что норма наддиагональной части <math>\| A^{(i)} \|_{off} =\sqrt{\sum\limits_{1 \le j < k \le n} (a_{jk}^{(i)})^2}</math> уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы <math>A_{i+1}={J_i}^TA_iJ_i</math>. |
Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы. | Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы. |
Версия 16:19, 19 декабря 2017
Метод Якоби — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров.
Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице [math]A = A^{(0)}[/math] построить последовательность ортогонально подобных матриц [math]A^{(1)},A^{(2)},\dotsc,A^{(m)}[/math], сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения [math]A[/math]. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения [math]J_i[/math], такая что норма наддиагональной части [math]\| A^{(i)} \|_{off} =\sqrt{\sum\limits_{1 \le j \lt k \le n} (a_{jk}^{(i)})^2}[/math] уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы [math]A_{i+1}={J_i}^TA_iJ_i[/math].
Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы.