Метод Якоби (вращений) для решения спектральной задачи у симметричных матриц: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{level-m}}») |
Frolov (обсуждение | вклад) м |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{level-m}} | {{level-m}} | ||
| + | |||
| + | '''Метод Якоби''' — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров. | ||
| + | |||
| + | Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице <math>A = A_0</math> построить последовательность ортогонально подобных матриц <math>A_1,A_2,\dotsc,A_m</math>, сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения <math>A</math>. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения <math>J_i</math>, такая что норма наддиагональной части <math>of\!f(A)=\sqrt{\sum\limits_{1 \le j < k \le n} a_{jk}^2}</math> уменьшается при каждом повороте матрицы <math>A</math>. | ||
| + | |||
| + | Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы. | ||
Версия 16:10, 19 декабря 2017
Метод Якоби — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров.
Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице [math]A = A_0[/math] построить последовательность ортогонально подобных матриц [math]A_1,A_2,\dotsc,A_m[/math], сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения [math]A[/math]. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения [math]J_i[/math], такая что норма наддиагональной части [math]of\!f(A)=\sqrt{\sum\limits_{1 \le j \lt k \le n} a_{jk}^2}[/math] уменьшается при каждом повороте матрицы [math]A[/math].
Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы.
