Уровень метода

Метод Якоби (вращений) для решения спектральной задачи у симметричных матриц

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску


Метод Якоби — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров.

Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице [math]A = A^{(0)}[/math] построить последовательность ортогонально подобных матриц [math]A^{(1)},A^{(2)},\dotsc,A^{(m)}[/math], сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения [math]A[/math]. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения [math]J_i[/math], такая что норма наддиагональной части [math]\| A^{(i)} \|_{off} =\sqrt{\sum\limits_{1 \le j \lt k \le n} (a_{jk}^{(i)})^2}[/math] уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы [math]A^{(i+1)}={J_i}^TA^{(i)}J_i[/math].

Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. В обычных вариантах метода это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы.