Уровень алгоритма

Участник:A.Freeman/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску


Алгоритм Ланцоша без переортогонализации
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(kn^2)[/math]
Объём входных данных [math]\frac{n (n + 1)}{2}+1[/math]
Объём выходных данных [math]k(n+1)[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O(k \log{n})[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]O(n^2)[/math]

Основные авторы описания: Заспа А.Ю. (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7), Фролов А.А. (1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 2.7)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша был опубликовн физиком и математиком Корнелием Ланцощем в 1950 году[1]. Этот метод является частным случаем алгоритма Арнольда в случае, если исходная матрица [math]A[/math] - симметрична, и был представлен как итерационный метод вычисления собственных значений симметричной матрицы. Этот метод позволяет за [math]k[/math] итераций вычислять [math]k[/math] приближений собственных значений и собственных векторов исходной матрицы. Хотя алгоритм и был эффективным в вычислительном смысле, но он на некоторое время был предан забвению из-за численной неустойчивости. Только в 1970 Ojalvo и Newman модифицировали алгоритм для использования в арифметике с плавающей точкой[2]. Новый метод получил название алгоритма Ланцоша с полной переортогонализацией. Но эта статья про его исходную версию. На вход алгоритма подается вещественная симметричная матрица [math]A = A^{T}[/math],

[math] A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1\ n-1} & a_{1\ n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2\ n-1} & a_{2\ n} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3\ n-1} & a_{3\ n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{1\ n-1} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n-1} & a_{n-1\ n-1} & a_{n-1\ n} \\ a_{1\ n} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n} & a_{n-1\ n} & a_{n\ n} \\ \end{pmatrix} [/math]

Поэтому достаточно хранить только чуть больше половины элементов исходной матрицы.

Сам алгоритм соединяет в себя метод Ланцоша построения крыловского подпространства с процедурой Релея-Ритца. На каждой итерации строится матрица [math]Q_k = [q_1, q_2, \dots, q_k][/math] размерности [math]n \times k[/math], состоящая из ортонормированных векторов Ланцоша. А в качестве приближенных собственных значений берутся числа Ритца, т.е. собственные значения симметричной трехдиагональной матрицы [math]T_k = Q^T_k A Q[/math] размерности [math]k \times k[/math].

[math] T_k = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 \\ & \beta_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \beta_{k-1} \\ & & & \beta_{k-1} & \alpha_k \end{pmatrix} [/math]

Нахождение собственных значений и собственных векторов такой матрицы значительно проще чем их вычисление для исходной матрицы. Например, они могут быть вычислены с помощью метода «разделяй и властвуй» вычисления собственных значений и векторов симметричной трехдиагональной матрицы. В этом методе эта процедура занимает [math]O(k^3)[/math] операций, где константа оказывается на практике довольно мала.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица [math]A[/math], начальный вектор [math]b[/math].

Вычисляемые данные: собственные вектора матрицы [math]T_k[/math] являющиеся столбцами матрицы [math]Q_k V[/math], и матрица собственных значений [math]\Lambda[/math], где [math]V, \Lambda[/math] из спектрального разложения [math]T_k = V\Lambda V^T[/math]. До начала первой итерации нормируется вектор начального приближения [math]q_1 = \frac{b}{\|b\|_2}[/math]. Затем задаются константы [math]\beta_0 = 0,\; q_0 = 0 [/math].

После выполнения данных действий начинаются итерации алгоритма. Которых будет не больше чем [math]k[/math]. В ходе итераций постепенно формируется матрица [math]T_k[/math] из [math]\alpha_i[/math]-x и [math]\beta_i[/math]-х.

На [math]i[/math]-й итерации происходят следующие вычисления. Вначале вычисляется произведение матрицы на вектор [math]z = Aq_i[/math]. Затем считается скалярное произведение [math]\alpha_i = q^T_i z[/math] и значение сохраняется как элемент формируемой матрицы. После этого необходимо произвести вычисление линейной комбинации векторов [math]z = z - \alpha_i q_i - \beta_{i-1}q_{i-1}[/math]. Норму полученного вектора запишем как элемент матрицы [math]\beta_i = \|z\|_2[/math]. Если [math]\beta_i[/math] оказалась равной нулю, то больше никаких итераций в алгоритме не производят, сразу переходят к вычислению собственных значений и собственных векторов. Иначе, в конце итерации считают [math]q_{i+1} = \frac{z}{\beta_i}[/math] и переходят к следующей итерации.

После всех итераций необходимо вычислить собственные значения и собственные вектора матрицы [math]T_k[/math].[3]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром на каждой итерации является вычисление произведения матрицы на вектор:

[math]z = Aq_i[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Для удобства понимания алгоритма можно выделить следующие макрооперации:

  • умножение матрицы на вектор. Состоит из операций умножения вектора на число и сложения векторов.
  • скалярное произведение векторов.
  • линейная комбинация векторов. Состоит из умножений вектора на число и сложений векторов.
  • получение нормы вектора. Состоит из скалярного произведения векторов, вычисления квадратного корня.
  • деление вектора на число.
  • вычисление собственных векторов и собственных значений трехдиагональной симметричной матрицы.

На каждой итерации будет вычисляться умножение матрицы [math]A[/math] размера [math]n \times n[/math] на вектор [math]q_i[/math]. Эта операция и будет самой ресурсозатратной на каждой итерации. Результаты этой макрооперации будут использованы затем в скалярном произведении векторов и в линейной комбинации из 3 векторов. После этого результат линейной комбинации векторов необходимо нормировать. Для этого можно разбить эту процедуру на вычисление нормы вектора и деление вектора на получившееся число. Кроме того, после завершения итераций необходимо вычислить собственные вектора и собственные значения полученной матрицы. Данная операция не конкретизируется алгоритмом, и может быть выполнена любым способом. Поэтому удобнее её представить в виде макрооперации. В разделе 1.7 можно наглядно увидеть как передаются данные между этими макрооперациями.


1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

[math]1.\, \beta_0 = 0,\; q_0 = 0[/math] #Инициализируются константы

[math]2.\, \|b\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} b_j^2}[/math] #Вычисляем норму вектора начального приближения.

[math]3.\, q_{1_{j}} = \frac{b_{j}}{\|b\|_2}, \; j = 1,\, \dots\,, n[/math] #Нормализуем вектор начального приближения.

Начинаются итерации цикла, которых не больше чем [math]k[/math]. На [math]i[/math]-й итерации производятся следующие вычисления:

[math]i.1\, z_j = \sum\limits_{m=1}^{n} a_{jm} q_{i_m}, \; j = 1,\,\dots\,, n[/math] #Считаем результат применения линейного оператора [math]A[/math] к вектору [math]q_i[/math].

[math]i.2\, \alpha_i = \sum\limits_{j=1}^{n}q_{i_j} z_j[/math] #Получаем результат скалярного произведения векторов [math]q_i[/math] и [math]z[/math].

[math]i.3\, z_j = z_j - \alpha_i q_{i_j} - \beta_{i-1}q_{i-1_j}, \, j = 1,\,\dots\,, n[/math] #Вычисляем линейную комбинацию векторов.

[math]i.4\, \beta_i = \|z\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} z_j^2}[/math] #Считаем норму вектора [math]z[/math].

[math]i.5[/math] Проверка равенства [math]\beta_i == 0[/math] # Если норма оказалась равной нулю, то завершаем итерации и переходим к вычислению собственных векторов и собственных значений полученной матрицы. В обратном случае, продолжаем выполнения итераций.

[math]i.6\, q_{i+1_j} = \frac{z_j}{\beta_i}, \; j = 1,\, \dots \,, n[/math] #Нормируем вектор [math]z[/math].

[math]i.7\,[/math] Если выполнили [math]k[/math] итераций, то завершаем выполнение итераций, переходим к следующему шагу. Иначе начинаем последующую итерацию цикла.

[math]4.[/math] Вычисляем собственные значения и собственные вектора полученной матрицы [math]T_k[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Вычисления [math]k[/math] собственных значений матрицы порядка [math]n[/math] и соответствующих им собственных векторов алгоритмом Ланцоша без переортогонализации состоит из инициализации, [math]k[/math] итераций и нахождения собственных значений и векторов трехдиагональной симметричной матрицы порядка [math]k[/math].

Инициализация состоит из следующих операций:

  • вычисление нормы:
    • [math]n[/math] операций умножения
    • [math]n-1[/math] операций сложений
    • извлечение квадратного корня
  • [math]n[/math] операций делений (нормирование)

Каждая из [math]k[/math] итераций состоит из:

  • умножение матрицы на вектор:
    • [math]n^2[/math] умножений
    • [math]n(n-1)[/math] сложений
  • скалярное произведение двух векторов
    • [math]n[/math] умножений
    • [math]n-1[/math] сложение
  • вычисление линейной комбинации векторов:
    • [math]2n[/math] умножений
    • [math]2n[/math] вычитаний
  • норма вектора:
    • [math]n[/math] операций умножения
    • [math]n-1[/math] операций сложений
    • извлечение квадратного корня
  • нормирование вектора:
    • [math]n[/math] операций деления

Итого (без учета решения задачи собственных значений трехдиагональной матрицы):

  • [math] k(n^2 + 4n) + n [/math] умножений,
  • [math] k(n^2+3n-2) + n-1[/math] сложений/вычитаний,
  • [math] kn + n [/math] делений,
  • [math] k + 1 [/math] вычислений квадратного корня.

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

Для нахождение собственных значений и векторов трехдиагональной симметричной матрицы эффективней всего использовать метод «разделяй и властвуй» вычисления собственных значений и векторов симметричной трехдиагональной матрицы, который требует [math] O(k^3) [/math] операций. При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод Ланцоша без переортогонализации относится к алгоритмам с квадратичной сложностью.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных.
[math]\|x\|[/math] — макрооперация взятия нормы,
[math]/[/math] — операция деления,
[math]\cdot [/math] — операция скалярного умножения векторов,
[math]\mathsf{F}[/math] — вычисление линейной комбинации векторов,
[math]\mathsf{Ax}[/math] — линейный оператор,
[math]\nabla[/math] — условие преждевременного выхода.
Рисунок 2. Граф алгоритма с отображением входных и выходных данных.
[math]\|x\|[/math] — макрооперация взятия нормы,
[math]/[/math] — операция деления,
[math]\cdot [/math] — операция скалярного умножения векторов,
[math]\mathsf{F}[/math] — вычисление линейной комбинации векторов,
[math]\mathsf{Ax}[/math] — линейный оператор,
[math]\nabla[/math] — условие преждевременного выхода,
[math]\mathsf{In}[/math] — входные данные,
[math]\mathsf{Out}[/math] — выходные результат.
Рисунок 3. Граф макрооперации "умножение матрицы на вектор" без отображения входных и выходных данных.
[math]*[/math] — операция умножения двух коэффициентов,
[math]+[/math] — операция сложения.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм Ланцоша в параллельной форме состоит из инициализации, [math]k[/math] итераций и вычисления собственных значений матрицы [math]T_k[/math], рассмотрение которого выходит за рамки данной статьи.

Заметим, что вычисление суммы [math]n[/math] элементов имеет высоту [math]\log n[/math] и линейную ширину ярусов [math]\frac{n}{2}, \frac{n}{4}, ... , 1[/math].

Инициализации состоит из следующих операций:

  • вычисление нормы:
    • вычисление скалярного произведения вектора самого на себя:
      • ярус умножений шириной [math]n[/math]
      • [math]\log{n}[/math] ярусов сложений с наибольшей шириной [math]\frac{n}{2}[/math]
    • ярус извлечения квадратного корня с единичным вычислением
  • деление вектора на число (нормирование вектора):
    • ярус [math]n[/math] операций деления


Итерационная часть алгоритма состоит из следующих операций:

  • умножение матрицы на число:
    • ярус умножений с шириной [math]n^2[/math]
    • [math]\log n[/math] ярусов с наибольшей шириной [math]\frac{n^2}{2}[/math] (блок вычисления n сумм n элементов)
  • вычисление скалярного произведения двух векторов:
    • ярус умножений шириной [math]n[/math]
    • [math]\log{n}[/math] ярусов сложений с наибольшей шириной [math]\frac{n}{2}[/math]
  • вычисление линейной комбинации векторов:
    • ярус умножений шириной [math]2n[/math]
    • два яруса сложений шириной [math]n[/math]
  • вычисление нормы:
    • вычисление скалярного произведения вектора самого на себя:
      • ярус умножений шириной [math]n[/math]
      • [math]\log{n}[/math] ярусов сложений с максимальной шириной [math]\frac{n}{2}[/math]
    • ярус извлечения квадратного корня с единичным вычислением
  • проверка на выход из цикла
  • деление вектора на число (нормирование вектора, может отсутствовать на последней итерации):
    • ярус [math]n[/math] операций деления


Таким образом, в параллельном варианте основную долю времени будут занимать операции сложения при умножении матрицы на вектор. При классификации по высоте ЯПФ Алгоритм Ланцоша относится к алгоритмам со сложностью [math]O(k \log n)[/math]. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет [math]O(n^2)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: симметричная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}, i \geq j[/math]), число [math]k[/math].

Объём входных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2} + 1[/math] (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы, единица относится к параметру [math]k[/math]).

Выходные данные: по [math]k[/math] приближений собственных значений и собственных векторов.

Объём выходных данных: [math]k+kn[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является субквадратичным: [math]\frac{kn^2}{k \log{n}}[/math].

Вычислительная мощность алгоритма нахождения коэффициентов [math]\alpha_i,\beta_i[/math] без экономии памяти состовляет [math]\frac{k(2n^2+8n-1)+3n}{n^2+2k}[/math], при [math]k \ll n[/math], вычислительная мощность приблизительно равна [math]2k[/math].

В случае хранения половины исходной матрицы получаем соотношношение [math]\frac{k(2n^2+8n-1)+3n}{n(n+1)/2+2k}[/math], что приблизительно равно [math]4k[/math].

Алгоритм Ланцоша без переортогонализации не является детерминированным (возможно выполнение меньшего числа итераций алгоритма), в случае если все собственные значения уже вычислены.

Важное свойство метода Ланцоша состоит в том, что первыми в матрице [math]T_{j}[/math] появляются собственные значения с максимальной величиной по модулю. Таким образом, метод особенно хорошо подходит для вычисления собственных значений матрицы [math]A[/math], находящихся на краях её спектра.

2 Программная реализация

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма Ланцоша без переортогонализации согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

  • число процессоров [64 : 224] с шагом 16 / 32;
  • размер матрицы [25000 : 150000] с шагом 5000.

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:

  • минимальная эффективность реализации 4,55%;
  • максимальная эффективность реализации 11,17%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности данной реализации в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 4. Параллельная реализация алгоритма Ланцоша. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.
Рисунок 5. Параллельная реализация алгоритма Ланцоша. Изменение эффективности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

Как видно из графиков, производительность линейно зависит от количества процессоров, при этом минимальная производительность наблюдается на матрицах размером 25000. Для всех последующих размеров минимальная производительность составила 8.39% с попаданием большинства значений в интервал 10.5%-11%.

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации

Реализация в проекте IETL[4]

Реализация в проекте ARPACK [5]

3 Ссылки

  1. Lanczos, C. "An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators", J. Res. Nat’l Bur. Std. 45, 255-282 (1950).
  2. Ojalvo, I.U. and Newman, M., "Vibration modes of large structures by an automatic matrix-reduction method", AIAA J., 8 (7), 1234–1239 (1970).
  3. Деммель Д. Вычислительная линейная алгебра
  4. http://www.comp-phys.org/software/ietl/lanczos.html
  5. http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/