Уровень метода

QR-алгоритм: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[досмотренная версия][досмотренная версия]
м
Строка 11: Строка 11:
  
 
Суть базового QR-алгоритма заключается в итерационном приведении матрицы <math>A</math> к некоторой унитарно подобной ей матрице <math>A_N</math> при помощи QR-разложения. Матрица <math>A_N</math> является правой верхней треугольной матрицей, а значит ее диагональ содержит собственные значения. В силу подобия матриц <math>A</math> и <math>A_N</math> их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы <math>A</math> сводится к задаче выведения матрицы <math>A_N</math> и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей.
 
Суть базового QR-алгоритма заключается в итерационном приведении матрицы <math>A</math> к некоторой унитарно подобной ей матрице <math>A_N</math> при помощи QR-разложения. Матрица <math>A_N</math> является правой верхней треугольной матрицей, а значит ее диагональ содержит собственные значения. В силу подобия матриц <math>A</math> и <math>A_N</math> их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы <math>A</math> сводится к задаче выведения матрицы <math>A_N</math> и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей.
 +
 +
== Математическое описание ==
 +
 +
Известно, что произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения унитарной (''в вещественном случае ортогональной'') и верхней треугольной матриц. Такое разложение называется [[QR-разложения плотных неособенных матриц|QR-разложением]].
 +
 +
Пусть <math>A_0 = A</math> — исходная матрица.
 +
Для <math>k = 1, 2, \ldots</math> выполняется QR-разложение:
 +
* <math>A_{k-1} = Q_kR_k</math>, где <math>Q_k</math> — унитарная (''ортогональная'') матрица, <math>R_k</math> — верхняя треугольная матрица, и затем найденные матрицы перемножаются в обратном порядке:
 +
* <math>A_k = R_kQ_k</math>.
 +
 +
Поскольку <math>A_k = R_kQ_k = Q_k^{*}A_{k-1}Q_k</math>, то матрицы <math>A_k</math> и <math>A_{k-1}</math> унитарно подобны для любого <math>k</math>. Поэтому матрицы <math>A_1, A_2, \ldots</math> унитарно подобны исходной матрице <math>A</math> и имеют те же собственные значения.
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
 
<references />
 
<references />

Версия 13:45, 4 мая 2017


Задача нахождения собственных значений и собственных векторов для матрицы [math]A[/math] заключается в поиске таких соответствующих друг другу чисел [math]\lambda[/math] и ненулевых векторов [math]x[/math], которые удовлетворяют уравнению [math]Ax=\lambda x[/math], при этом числа [math]\lambda[/math] называются собственными значениями, а вектора [math]x[/math] - собственными векторами[1].

Данная задача является одной из самых сложных задач линейной алгебры[2]. Собственные вектора и собственные значения применяются в различных областях науки: в аналитической геометрии, при решении систем интегральных уравнений, в математической физике. Однако не существует прямых методов вычисления собственных значений для матриц общего вида, поэтому данная задача на практике решается численными итерационными методами. Одним из них является QR-алгоритм.

1 Общее описание метода

QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел матрицы. При этом алгоритм позволяет найти и собственные вектора матрицы. Он был разработан в конце 1950-х годов независимо В. Н. Кублановской(Россия)[3] и Дж. Фрэнсисом(Англия)[4]. Открытию QR-алгоритма предшествовал LR-алгоритм, который использовал LU-разложение вместо QR-разложения. В настоящее время LR-алгоритм используется очень редко ввиду своей меньшей эффективности, однако он был важным шагом на пути к открытию QR-алгоритма[5].

Суть базового QR-алгоритма заключается в итерационном приведении матрицы [math]A[/math] к некоторой унитарно подобной ей матрице [math]A_N[/math] при помощи QR-разложения. Матрица [math]A_N[/math] является правой верхней треугольной матрицей, а значит ее диагональ содержит собственные значения. В силу подобия матриц [math]A[/math] и [math]A_N[/math] их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы [math]A[/math] сводится к задаче выведения матрицы [math]A_N[/math] и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей.

2 Математическое описание

Известно, что произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения унитарной (в вещественном случае ортогональной) и верхней треугольной матриц. Такое разложение называется QR-разложением.

Пусть [math]A_0 = A[/math] — исходная матрица. Для [math]k = 1, 2, \ldots[/math] выполняется QR-разложение:

  • [math]A_{k-1} = Q_kR_k[/math], где [math]Q_k[/math] — унитарная (ортогональная) матрица, [math]R_k[/math] — верхняя треугольная матрица, и затем найденные матрицы перемножаются в обратном порядке:
  • [math]A_k = R_kQ_k[/math].

Поскольку [math]A_k = R_kQ_k = Q_k^{*}A_{k-1}Q_k[/math], то матрицы [math]A_k[/math] и [math]A_{k-1}[/math] унитарно подобны для любого [math]k[/math]. Поэтому матрицы [math]A_1, A_2, \ldots[/math] унитарно подобны исходной матрице [math]A[/math] и имеют те же собственные значения.

3 Литература

  1. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
  2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
  3. Кублановская В.Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1. № 4. С. 555–570
  4. J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, 1961, vol. 4, no. 3, pp. 265-271
  5. Wikipedia: QR-algorithm