QR decomposition of dense nonsingular matrices

Finding the decomposition of a matrix A of the form [math]A = QR[/math], where [math]Q[/math] is a unitary matrix and [math]R[/math] is an upper triangular matrix , is an important stage in solving certain more complex problems. Usually, the existence of this decomposition is proved for nonsingular matrices (see ), in which case all the diagonal entries of the triangular factor are nonzero. However, often, the QR decomposition is also needed in problems where the non-singularity of A is not guaranteed and [math]R[/math] may have some zero diagonal entries. There are several classical methods for finding the QR decomposition. They, and their variants, yield constructive proofs of the existence of this decomposition in the general case.

1 Methods for finding the QR decomposition of a dense square matrix

Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы [math]A^*A[/math] с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.

1.1 Методы приведения унитарными преобразованиями к треугольному виду

1.1.1 Метод Гивенса

Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Имеет линейный по размеру задачи критический путь графа.

1.1.2 Метод Хаусхолдера

Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Устойчивый классический вариант имеет квадратичный по размеру задачи критический путь графа, применение сдваивания уменьшает его до [math]O (n log_{2} n)[/math]. Тем не менее, в библиотеках программ более популярен, чем метод Гивенса, из-за того, что легче опирается на базовые подпрограммы библиотеки BLAS.

1.2 Другие методы

1.2.1 Метод ортогонализации

Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду [math]Q[/math]. Классический метод неустойчив, а переортогонализация делает этот метод более медленным.

1.2.2 Метод треугольного разложения матрицы Грама

Практически не применяющийся метод работает только в условиях гарантированной невырожденности исходной матрицы [math]A[/math]. Состоит из трёх частей: нахождение матрицы Грама [math]A^*A[/math] столбцов исходной матрицы, нахождение_симметричного_треугольного_разложения матрицы Грама [math]A^*A[/math] в виде [math]R^*R[/math], нахождение унитарной матрицы [math]Q=AR^{-1}[/math], например, с помощью модифицированной обратной подстановки.