Gaussian elimination, compact scheme for tridiagonal matrices, serial variant

Gaussian elimination, compact scheme for tridiagonal matrices, serial variant
Sequential algorithm
Serial complexity	[math]3n-3[/math]
Input data	[math]3n-2[/math]
Output data	[math]3n-2[/math]
Parallel algorithm
Parallel form height	[math]3n-3[/math]
Parallel form width	[math]1[/math]

Main authors: Alexey Frolov

1 Properties and structure of the algorithm

1.1 General description of the algorithm

Компактная схема метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы вычисляет такое [math]LU[/math]-разложение трёхдиагональной матрицы

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

на две двухдиагональные:

[math] L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & l_{32} & 1 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & l_{n-1 n-2} & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & l_{n n-1} & 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

и

[math] U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & u_{22} & u_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & u_{n-1 n-1} & u_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math].

При такой фиксации диагонали матрицы [math]L[/math] все элементы разложения становятся строго предопределёнными, с точностью до ошибок округления. Компактная схема даёт естественные формулы нахождения остальных элементов получающихся двухдиагональных матриц. [math]LU[/math]-разложение трёхдиагональной матрицы является частным случаем для компактной схемы метода Гаусса общего вида, однако из-за специфики матрицы характеристики алгоритма кардинально меняются по сравнению с компактной схемой для плотных матриц.

1.2 Mathematical description of the algorithm

Формулы алгоритма следующие:

[math]u_{11} = a_{11} [/math]

[math]u_{i i+1} = a_{i i+1}, \quad i \in [1, n-1] [/math]

[math]l_{i+1 i} = a_{i+1 i} / u_{i i} , \quad i \in [1, n-1] [/math]

[math]u_{ii} = a_{ii} - l_{i i-1} u_{i-1 i}, \quad i \in [2, n] [/math]

1.3 Computational kernel of the algorithm

Как видно из формул, n-1 раз повторяется одна и та же последовательность трёх операций: деление, умножение, вычитание.

1.4 Macro structure of the algorithm

В качестве макровершины можно взять последовательность трёх операций: деление, умножение, вычитание. Эти макровершины выполняются в алгоритме n-1 раз.

1.5 Implementation scheme of the serial algorithm

В схеме учтено, что ряд выходных данных вычислять не нужно - они совпадают с входными. В частности,

[math]u_{11} = a_{11} [/math]

[math]u_{i i+1} = a_{i i+1}, \quad i \in [1, n-1][/math].

В начале процесса [math]i = 1[/math]

1. Вычисляется [math]l_{i+1 i} = a_{i+1 i} / u_{i i}[/math]

[math]i[/math] увеличивается на 1

2. Вычисляется [math]u_{ii} = a_{ii} - l_{i i-1} u_{i-1 i}[/math]

Если [math]i = n[/math], то конец, иначе возврат к п.1.

1.6 Serial complexity of the algorithm

Для разложения трёхдиагональной матрицы порядка n компактной схемой метода Гаусса в последовательном варианте требуется:

• [math]n-1[/math] делений,
• [math]n-1[/math] умножений,
• [math]n-1[/math] сложений (вычитаний).

При классификации по последовательной сложности, таким образом, компактная схема метода Гаусса для разложения трёхдиагональной матрицы в последовательном варианте относится к алгоритмам с линейной сложностью.

1.7 Information graph

• 

  Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. / - деление, * - умножение, - - вычитание.

• 

  Рисунок 2. Граф алгоритма с отображением входных данных. / - деление, * - умножение, - - вычитание.

Как видно из рис.1, на котором одна из операций разложена на 2 составляющие, информационный граф является чисто последовательным.

1.8 Parallelization resource of the algorithm

При разложении трёхдиагональной матрицы порядка n компактной схемой метода Гаусса в требуется выполнить:

• [math]n-1[/math] ярусов делений,
• [math]n-1[/math] ярусов умножений,
• [math]n-1[/math] ярусов сложений (вычитаний).

В каждом ярусе - ровно по одной операции. При классификации по параллельной сложности, таким образом, компактная схема метода Гаусса для разложения трёхдиагональной матрицы в последовательном варианте относится к алгоритмам с линейной сложностью. Ширина ярусов везде равна 1, и, таким образом, весь алгоритм представляет собой сплошное "узкое место".

1.9 Input and output data of the algorithm

Входные данные: трёхдиагональная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Объём входных данных: [math]3n-2[/math]. В разных реализациях размещение для экономии хранения может быть выполнено разным образом. Например, каждая диагональ может быть строкой массива.

Выходные данные: нижняя двухдиагональная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math], причём [math]l_{ii}=1[/math]) и верхняя двухдиагональная матрица [math]U[/math] (элементы [math]u_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: формально [math]3n-2[/math]. Однако благодаря совпадению [math]n[/math] входных и выходных данных реально вычисляется лишь [math]2n-2[/math] элементов.

1.10 Properties of the algorithm

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае любых ресурсов, как хорошо видно, является единицей (алгоритм не является распараллеливаемым).

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь константа (арифметических операций столько же, сколько данных).

Описываемый алгоритм является полностью детерминированным.

Эквивалентное возмущение [math]M[/math] у алгоритма не более возмущения [math]\delta A[/math], вносимому в матрицу при вводе чисел в компьютер: [math] ||M||_{E} \leq ||\delta A||_{E} [/math]

2 Software implementation of the algorithm

2.1 Implementation peculiarities of the serial algorithm

В простейшем варианте алгоритм на Фортране можно записать так:

	DO  I = 1, N-1
		A(I+1,I) = A(I+1,I)/A(I,I)
                A(I+1,I+1) = A(I+1,I+1) - A(I+1,I)*A(I,I+1)
	END DO

Разложение размещается там же, где размещалась исходная матрица. Индексация такая же как и для плотной матрицы.

Однако чаще трёхдиагональную матрицу, естественно, хранят более экономно. Например, если диагонали нумеруются слева направо и каждая хранится в одной строке массива, то получается такая версия:

	DO  I = 1, N-1
		A(1,I) = A(1,I)/A(2,I)
                A(2,I+1) = A(2,I+1) - A(1,I)*A(3,I)
	END DO

в которой разложение также сохраняется на месте исходных данных. Элементы A(1,N) и A(3,N) при данном способе хранения не адресуются.

2.2 Locality of data and computations

По приведённым фрагментам программ видно, что степень локальности данных и вычислений очень высока. Особенно это выражено для второго варианта, в котором все данные, как используемые операцией, так и вычисляемые ей, хранятся и используются "рядом". Однако выигрыш от столь высокой локальности, однако, ограничен тем, что каждое перевычисляемое данное используется затем только однажды. Это вызвано простой причиной: количество обрабатываемых алгоритмом данных, как уже описано выше, равно количеству арифметических операций.

2.3 Possible methods and considerations for parallel implementation of the algorithm

Компактная схема метода Гаусса в применении к разложению трёхдиагональной матрицы - это чисто последовательный алгоритм. Его невозможно исполнять параллельно из-за того, что каждая из операций требует в качестве данных результат предыдущей и сама, в свою очередь, отдаёт результат как входное данное для следующей.

Варианты распараллеливания компактной схемы метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы используют ассоциативность операций, и, следовательно, представляют собой совсем другие алгоритмы, которые можно изучить на соответствующей странице.

Кроме этого, возможен случай, когда нужны многие разложения разных трёхдиагональных матриц, тогда этот последовательный алгоритм может быть параллельно выполнен для этих матриц на разных узлах вычислительной системы.

2.4 Scalability of the algorithm and its implementations

При чисто последовательном характере алгоритма его ресурсы параллельности полностью отсутствуют: выгоднее все вычисления проводить на одном процессоре.

2.6 Conclusions for different classes of computer architecture

Из-за последовательной структуры более или менее эффективно алгоритм в своём неизменном виде может быть выполнен только на вычислителе классической фон-неймановской архитектуры.