Problem level

Difference between revisions of "QR decomposition of dense nonsingular matrices"

From Algowiki
Jump to navigation Jump to search
[unchecked revision][unchecked revision]
(Created page with "{{level-p}} Нахождение разложения матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — права...")
 
Line 1: Line 1:
 
{{level-p}}
 
{{level-p}}
  
Нахождение разложения  матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — правая треугольная матрица<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref> для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев <math>QR</math>-разложение (возможно, с нулями на диагонали <math>R</math>) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.  
+
Finding the decomposition of a matrix A of the form <math>A = QR</math>, where <math>Q</math> is a unitary matrix and <math>R</math> is an upper triangular matrix <ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., is an important stage in solving certain more complex problems. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref> для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев <math>QR</math>-разложение (возможно, с нулями на диагонали <math>R</math>) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.  
  
 
== Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц ==
 
== Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц ==

Revision as of 11:50, 5 March 2018


Finding the decomposition of a matrix A of the form [math]A = QR[/math], where [math]Q[/math] is a unitary matrix and [math]R[/math] is an upper triangular matrix [1]., is an important stage in solving certain more complex problems. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано[2] для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев [math]QR[/math]-разложение (возможно, с нулями на диагонали [math]R[/math]) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.

1 Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц

Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы[2] о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы [math]A^*A[/math] с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.

1.1 Методы приведения унитарными преобразованиями к треугольному виду

1.1.1 Метод Гивенса

Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Имеет линейный по размеру задачи критический путь графа.

1.1.2 Метод Хаусхолдера

Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Устойчивый классический вариант имеет квадратичный по размеру задачи критический путь графа, применение сдваивания уменьшает его до [math]O (n log_{2} n)[/math]. Тем не менее, в библиотеках программ более популярен, чем метод Гивенса, из-за того, что легче опирается на базовые подпрограммы библиотеки BLAS.

1.2 Другие методы

1.2.1 Метод ортогонализации

Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду [math]Q[/math]. Классический метод неустойчив, а переортогонализация делает этот метод более медленным.

1.2.2 Метод треугольного разложения матрицы Грама

Практически не применяющийся метод работает только в условиях гарантированной невырожденности исходной матрицы [math]A[/math]. Состоит из трёх частей: нахождение матрицы Грама [math]A^*A[/math] столбцов исходной матрицы, нахождение_симметричного_треугольного_разложения матрицы Грама [math]A^*A[/math] в виде [math]R^*R[/math], нахождение унитарной матрицы [math]Q=AR^{-1}[/math], например, с помощью модифицированной обратной подстановки.

2 Литература

  1. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
  2. 2.0 2.1 Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.