Stone doubling algorithm for the LU decomposition of a tridiagonal matrix

Stone doubling algorithm for the LU decomposition of tridiagonal matrices
Sequential algorithm
Serial complexity	[math]3(n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil + o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math]
Input data	[math]3n-2[/math]
Output data	[math]2n-1[/math]
Parallel algorithm
Parallel form height	[math]2 \lceil \log_2 (n-1) \rceil + 3[/math]
Parallel form width	[math]n[/math]

Main author: Alexey Frolov

1 Properties and structure of the algorithm

1.1 General description of the algorithm

The Stone doubling algorithm for the LU decomposition of tri-diagonal matrices is a part of the Stone doubling algorithm for solving SLAEs of the form [math]Ax = b[/math], where

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

The Stone doubling algorithm was first proposed in early 70's of 20-th century as an alternative to other parallel algorithms for solving tri-diagonal SLAEs such as, for instance, the cyclic reduction method.

Here, we consider the first part of the algorithm that concerns the [math]LU[/math] decomposition. The aim is to represent the matrix

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

as the product of the matrices

[math] L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & l_{32} & 1 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & l_{n-1 n-2} & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & l_{n n-1} & 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

and

[math] U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & u_{22} & u_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & u_{n-1 n-1} & u_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

An important point is the fact that, in exact arithmetic, the Stone doubling algorithm finds the same decomposition as that in the compact scheme of Gaussian elimination.

Theoretically, the Stone method is based on the following considerations. Define the values [math]q_i[/math] by the formulas [math]q_0 = 1[/math], [math]q_1 = a_{11}[/math], and [math]q_i = a_{ii} q_{i-1} - a_{ii-1}a_{i-1i} q_{i-2}[/math]. As soon as all the [math]q_i[/math] are calculated, one can easily find all the entries [math]u_{ii} = q_i/q_{i-1}[/math] and [math]l_{ii-1} = a_{ii-1}/u_{i-1i-1}[/math]. The entries [math]u_{ii+1} = a_{ii+1}[/math] need not be calculated.

When calculating the values [math]q_i[/math], one uses the associativity of matrix multiplication. The recursion relation [math]q_i = a_{ii} q_{i-1} - a_{ii-1}a_{i-1i} q_{i-2}[/math] implies the matrix equality

[math] \begin{bmatrix} q_i \\ q_{i-1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{ii} & -a_{ii-1}a_{i-1i} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{i-1} \\ q_{i-2} \\ \end{bmatrix} = T_i \begin{bmatrix} q_{i-1} \\ q_{i-2} \\ \end{bmatrix} = T_i T_{i-1}...T_2 \begin{bmatrix} q_{1} \\ q_{0} \\ \end{bmatrix} = T_i T_{i-1}...T_2 \begin{bmatrix} a_{11} \\ 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

Matrix products [math]T_i T_{i-1}...T_2[/math] are calculated using the parallel doubling scheme. Note that the second row of each matrix [math]T_i[/math] is identical to the first row of the identity matrix. It follows that the second row of the product [math]T_i T_{i-1}...T_k[/math] is identical to the first row of the product [math]T_{i-1}...T_k[/math], which makes it possible to halve the number of arithmetic operations compared to the analogous product of general matrices of the same order .

Figure 1. Graph of calculating the product of the matrices [math]T_{i}[/math] for [math]n=9[/math]. Each node at the first layer corresponds to a composite operation consisting of a single multiplication and a single operation of the type [math]a+bc[/math], while each node at other layers corresponds to two operations of the type [math]ab+cd[/math]. Results calculated by black nodes are used at later stages, and intermediate results are calculated by light nodes

1.2 Mathematical description of the algorithm

First, for all [math]i[/math] from 2 to [math]n[/math], we set

[math]p_i = a_{ii}, r_i = -a_{ii-1}a_{i-1i}[/math],

and

[math]p_1 = 0, r_1 = 1[/math].

At step [math]k[/math], the calculations are conducted as follows:

Beginning from [math]i[/math] = 2, skip [math]2^{k-1}[/math] numbers; for the next [math]2^{k-1}[/math] numbers, set [math]j[/math] equal to the nearest smaller integer of the form [math]j = 1 + 2^{k} m [/math].

At the first step, the values [math]p_i, r_i[/math] are updated by the formulas [math]p^{new}_i = p_i p_{i-1}, r^{new}_i = p_i r_{i-1} + r_i[/math]; at the other steps, they are updated using the formulas [math]p^{new}_i = p_i p_{j}+r_i p_{j-1}, r^{new}_i = p_i r_{j} + r_i r_{j-1}[/math].

Then, again, [math]2^{k-1}[/math] numbers are skipped, and, for the next [math]2^{k-1}[/math] numbers, calculations similar to those above are performed, and so on until the range of [math]i[/math] from 2 to [math]n[/math] is run out.

The above steps are repeated until it occurs that all the values of [math]i[/math] from 2 to [math]n[/math] should be skipped. After that, one calculates [math]q_i = p_i a_{11} + r_i[/math] for all [math]i[/math] from 1 to [math]n[/math], then [math]u_{ii} = q_i/q_{i-1}[/math] and [math]l_{ii-1} = a_{ii-1}/u_{i-1i-1}[/math] for all [math]i[/math] from 2 to [math]n[/math].

1.3 Computational kernel of the algorithm

The computational kernel of the algorithm is mainly composed of operations of the type [math]ab+cd[/math] and [math]ab+c[/math] with a small addition of multiplications and divisions. There are no isolated long sequences of calculations.

1.4 Macro structure of the algorithm

At the macro-level, the following macro-operations can be set out: 1. Calculation of the entries of the matrices [math]T_i[/math]. 2. Calculation of the products of the matrices [math]T_{i}[/math] using the doubling scheme. 3. Calculation of the ultimate results.

1.5 Implementation scheme of the serial algorithm

The Stone method was from the outset designed for a parallel implementation because it involves redundant calculations compared to, say, the classical Thomas algorithm. A serial implementation of the method makes no sense also for the reason that it is numerically unstable.

1.6 Serial complexity of the algorithm

For a full execution of the Stone algorithm resulting in the decomposition of the given tri-diagonal matrix into the product of two bi-diagonal matrices, one should perform

• [math]2n-2[/math] divisions,
• [math]2(n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil + o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math] multiplications, and
• [math](n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil +o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math] additions.

Consequently, in terms of serial complexity, the algorithm should be qualified as a linear-logarithmic complexity algorithm.

1.7 Information graph

As already noted, the macro-structure of the algorithm consists of three parts.

In the first part, off-diagonal entries of the matrices [math]T_{i}[/math] are calculated.

In the second part, products of the matrices [math]T_{i}[/math] are calculated using the doubling technique. This calculation is shown in Figure 1; it uses the results of the first part.

In the concluding third part, the final results are calculated with the use of the results of the second part.

The inner graphs of the first and third parts are empty; their operations are only related to the second part.

1.8 Parallelization resource of the algorithm

The critical path of the Stone algorithm for the LU decomposition of tri-diagonal matrices consists of

• [math]1[/math] layer of divisions,
• [math]\lceil \log_2 (n-1) \rceil+1[/math] layers of multiplications, and
• [math]\lceil \log_2 (n-1) \rceil+1[/math] layers of additions.

Consequently, in terms of the parallel form height, the algorithm should be qualified as a logarithmic complexity algorithm. The width of a layer is [math]n[/math]; therefore, in terms of the parallel form width, the algorithm should be qualified as a linear complexity algorithm.

1.9 Input and output data of the algorithm

Входные данные: трёхдиагональная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Объём входных данных: [math]3n-2[/math]. В разных реализациях размещение для экономии хранения может быть выполнено разным образом. Например, каждая диагональ может быть строкой массива.

Выходные данные: нижняя двухдиагональная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math], причём [math]l_{ii}=1[/math]) и верхняя двухдиагональная матрица [math]U[/math] (элементы [math]u_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: формально [math]3n-2[/math]. Однако благодаря совпадению [math]n[/math] входных и выходных данных реально вычисляется лишь [math]2n-2[/math] элементов.

1.10 Properties of the algorithm

Соотношение последовательной и параллельной сложности, как хорошо видно, равно [math]O(n)[/math].

При этом вычислительная мощность алгоритма как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных является логарифмической.

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Устойчивость алгоритма остаётся только при условии невозрастания ведущих главных миноров матрицы. При росте миноров область устойчивости алгоритма очень мала.

2 Software implementation of the algorithm

2.1 Implementation peculiarities of the serial algorithm

Из-за большой избыточности вычислений алгоритм сдваивания Стоуна никогда не предназначался для последовательной реализации. После обнаружения его неустойчивости стало ясно, что и в будущем он не будет реализован на последовательных архитектурах.

2.2 Locality of data and computations

Хотя исследование локальности и не имеет смысла из-за неустойчивости, можно сказать, что, как видно по графу алгоритма, ряд дуг длинны как по времени (по различию номеров ярусов операций, являющихся началом и концом дуги), так и по пространству (исключением является только размещение в гиперкубе, физически невозможное). Эта неустранимая нелокальность должна тормозить исполнение алгоритма. Реальное же исследование последовательного кода на обращения в память проводить бессмысленно, поскольку последовательный код не применяется и не будет применяться никем.

2.3 Possible methods and considerations for parallel implementation of the algorithm

Из-за неустойчивости алгоритма любые способы реализации теряют смысл.

2.4 Scalability of the algorithm and its implementations

Из-за неустойчивости алгоритма не имеют смысла любые разговоры о масштабируемости любых его реализаций.

2.5 Dynamic characteristics and efficiency of the algorithm implementation

Из-за неустойчивости алгоритма не имеют смысла любые замеры эффективности любых его реализаций и их динамических характеристик. Кроме того, из-за избыточности вычислений ясно, что реальная эффективность будет существенно ограничена даже при малых размерах задач, где неустойчивость ещё не сказывается.

2.6 Conclusions for different classes of computer architecture

На области относительно приемлемых ошибок (малые размеры задач) у метода всё равно нет шансов на нормальную реализацию - быстрее будет СЛАУ прогонкой на обычной персоналке решить.

2.7 Existing implementations of the algorithm

Из-за неустойчивости алгоритма его не используют на практике, поэтому планировавшаяся в исходной публикации замена более популярной циклической редукции не удалась.