Stone doubling algorithm for the LU decomposition of a tridiagonal matrix

Stone doubling algorithm for the LU decomposition of tridiagonal matrices
Sequential algorithm
Serial complexity	[math]3(n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil + o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math]
Input data	[math]3n-2[/math]
Output data	[math]2n-1[/math]
Parallel algorithm
Parallel form height	[math]2 \lceil \log_2 (n-1) \rceil + 3[/math]
Parallel form width	[math]n[/math]

Main authors: Alexey Frolov

1 Properties and structure of the algorithm

1.1 General description of the algorithm

Алгоритм сдваивания Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы - часть метода сдваивания Стоуна для решения СЛАУ вида [math]Ax = b[/math], где

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

Метод сдваивания Стоуна впервые предложен в начале 70-х гг. 20го века в качестве альтернативы другим параллельным алгоритмам решения трёхдиагональных СЛАУ, например, методу циклической редукции.

Здесь рассматривается его первая часть - [math]LU[/math]-разложение. Оно состоит в представлении матрицы

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

в виде произведения матриц

[math] L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & l_{32} & 1 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & l_{n-1 n-2} & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & l_{n n-1} & 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

и

[math] U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & u_{22} & u_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & u_{n-1 n-1} & u_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & u_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

Важным моментом является то, что в условиях точных вычислений алгоритм сдваивания Стоуна вычисляет то же самое разложение, что и компактная схема метода Гаусса.

Теоретически метод Стоуна основан на том, что, если ввести величины [math]q_i[/math] так, что [math]q_0 = 1[/math], [math]q_1 = a_{11}[/math] и [math]q_i = a_{ii} q_{i-1} - a_{ii-1}a_{i-1i} q_{i-2}[/math], то после вычисления всех [math]q_i[/math] легко вычислить все [math]u_{ii} = q_i/q_{i-1}[/math], [math]l_{ii-1} = a_{ii-1}/u_{i-1i-1}[/math]. При этом не нужно вычислять [math]u_{ii+1} = a_{ii+1}[/math].

Вычисление всех [math]q_i[/math] производится с использованием ассоциативности матричного умножения. Из рекуррентной связи [math]q_i = a_{ii} q_{i-1} - a_{ii-1}a_{i-1i} q_{i-2}[/math] следует матричное равенство

[math] \begin{bmatrix} q_i \\ q_{i-1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{ii} & -a_{ii-1}a_{i-1i} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{i-1} \\ q_{i-2} \\ \end{bmatrix} = T_i \begin{bmatrix} q_{i-1} \\ q_{i-2} \\ \end{bmatrix} = T_i T_{i-1}...T_2 \begin{bmatrix} q_{1} \\ q_{0} \\ \end{bmatrix} = T_i T_{i-1}...T_2 \begin{bmatrix} a_{11} \\ 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

Произведения матриц [math]T_i T_{i-1}...T_2[/math] вычисляются параллельной схемой сдваивания. При этом благодаря тому, что вторая строка всех матриц [math]T_i[/math] равна первой строке единичной матрицы, вторая строка произведения [math]T_i T_{i-1}...T_k[/math] совпадает с первой строкой произведения [math]T_{i-1}...T_k[/math], что позволяет сэкономить вычисления вдвое против перемножения неособенных матриц этого же порядка.

Рисунок 1. Граф вычисления произведений матриц [math]T_{i}[/math] при [math]n=9[/math]. Каждая вершина на первом ярусе соответствует составной операции, состоящей из одного умножения и одной операции [math]a+bc[/math], на остальных ярусах - из двух операций [math]ab+cd[/math]. В чёрных вершинах вычисляются используемые далее результаты, в светлых - промежуточные

1.2 Mathematical description of the algorithm

Вначале полагается для всех [math]i[/math] от 2 до [math]n[/math]

[math]p_i = a_{ii}, r_i = -a_{ii-1}a_{i-1i}[/math],

а также

[math]p_1 = 0, r_1 = 1[/math].

Затем вычисления на каждом шаге (номер шага обозначим [math]k[/math]) ведутся так:

начиная с [math]i[/math] с 2, пропускают [math]2^{k-1}[/math] чисел, а потом для [math]2^{k-1}[/math] чисел берут ближайшее для них снизу [math]j[/math] вида [math]j = 1 + 2^{k} m [/math].

Для первого шага перевычисляются новые значения [math]p_i, r_i[/math] по формулам: [math]p^{new}_i = p_i p_{i-1}, r^{new}_i = p_i r_{i-1} + r_i[/math], а для остальных шагов - по формулам [math]p^{new}_i = p_i p_{j}+r_i p_{j-1}, r^{new}_i = p_i r_{j} + r_i r_{j-1}[/math].

Затем опять пропускают [math]2^{k-1}[/math] чисел, повторяют для [math]2^{k-1}[/math] чисел такие же вычисления, и так до исчерпания диапазона всего значений [math]i[/math] от 2 до [math]n[/math].

Шаги повторяют до тех пор, пока не оказывается, что нужно пропустить все значения [math]i[/math] от 2 до [math]n[/math]. После этого выполняют вычисления

[math]q_i = p_i a_{11} + r_i[/math] для всех [math]i[/math] от 1 до [math]n[/math] и затем [math]u_{ii} = q_i/q_{i-1}[/math], [math]l_{ii-1} = a_{ii-1}/u_{i-1i-1}[/math] для всех [math]i[/math] от 2 до [math]n[/math].

1.3 Computational kernel of the algorithm

Вычислительное ядро алгоритма составляют в основной части операции типа [math]ab+cd[/math] и [math]ab+c[/math], с небольшой добавкой отдельных умножений и делений. Изолированные длинные ветви вычислений отсутствуют.

1.4 Macro structure of the algorithm

На макроуровне можно выделить такие 4 макрооперации: вычисление элементов матриц [math]T_i[/math], вычисление сдваиванием произведений матриц [math]T_{i}[/math], вычисление результатов.

1.5 Implementation scheme of the serial algorithm

Метод Стоуна изначально спроектирован для параллельного исполнения, поскольку является по отношению к, например, классической прогонке, алгоритмом с избыточными вычислениями. Смысла в его последовательной реализации нет ещё и из-за того, что он неустойчив.

1.6 Serial complexity of the algorithm

Для полного выполнения алгоритма Стоуна и получения разложения трёхдиагональной матрицы на две двудиагональные нужно выполнить:

• [math]2n-2[/math] делений,
• [math]2(n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil + o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math] умножений,
• [math](n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil +o((n-1)\lceil \log_2 (n-1) \rceil)[/math] сложений.

Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам линейно-логарифмической сложности по количеству последовательных операций.

1.7 Information graph

Как уже отмечено, макроструктура алгоритма состоит из 4 частей.

В первой части производится вычисление недиагональных элементов матриц [math]T_{i}[/math].

Во второй части - вычисление сдваиванием произведений матриц [math]T_{i}[/math], оно показано на рисунке 1 и использует результаты 1й части.

В третьей, последней, части - вычисление результатов, с использованием результатов 2й части.

Внутренние графы 1й и 3й частей - пусты, их операции в зависимости только со 2й частью.

1.8 Parallelization resource of the algorithm

На критическом пути алгоритма Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы нужно выполнить:

• [math]1[/math] ярус делений,
• [math]\lceil \log_2 (n-1) \rceil+1[/math] ярусов умножений,
• [math]\lceil \log_2 (n-1) \rceil+1[/math] ярусов сложений.

Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам логарифмической сложности по количеству последовательных операций. Ширина яруса равна [math]n[/math], поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам линейной сложности по ширине ярусов.

1.9 Input and output data of the algorithm

Входные данные: трёхдиагональная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Объём входных данных: [math]3n-2[/math]. В разных реализациях размещение для экономии хранения может быть выполнено разным образом. Например, каждая диагональ может быть строкой массива.

Выходные данные: нижняя двухдиагональная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math], причём [math]l_{ii}=1[/math]) и верхняя двухдиагональная матрица [math]U[/math] (элементы [math]u_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: формально [math]3n-2[/math]. Однако благодаря совпадению [math]n[/math] входных и выходных данных реально вычисляется лишь [math]2n-2[/math] элементов.

1.10 Properties of the algorithm

Соотношение последовательной и параллельной сложности, как хорошо видно, равно [math]O(n)[/math].

При этом вычислительная мощность алгоритма как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных является логарифмической.

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Устойчивость алгоритма остаётся только при условии невозрастания ведущих главных миноров матрицы. При росте миноров область устойчивости алгоритма очень мала.

2 Software implementation of the algorithm

2.1 Implementation peculiarities of the serial algorithm

Из-за большой избыточности вычислений алгоритм сдваивания Стоуна никогда не предназначался для последовательной реализации. После обнаружения его неустойчивости стало ясно, что и в будущем он не будет реализован на последовательных архитектурах.

2.2 Locality of data and computations

Хотя исследование локальности и не имеет смысла из-за неустойчивости, можно сказать, что, как видно по графу алгоритма, ряд дуг длинны как по времени (по различию номеров ярусов операций, являющихся началом и концом дуги), так и по пространству (исключением является только размещение в гиперкубе, физически невозможное). Эта неустранимая нелокальность должна тормозить исполнение алгоритма. Реальное же исследование последовательного кода на обращения в память проводить бессмысленно, поскольку последовательный код не применяется и не будет применяться никем.

2.3 Possible methods and considerations for parallel implementation of the algorithm

Из-за неустойчивости алгоритма любые способы реализации теряют смысл.

2.4 Scalability of the algorithm and its implementations

Из-за неустойчивости алгоритма не имеют смысла любые разговоры о масштабируемости любых его реализаций.

2.5 Dynamic characteristics and efficiency of the algorithm implementation

Из-за неустойчивости алгоритма не имеют смысла любые замеры эффективности любых его реализаций и их динамических характеристик. Кроме того, из-за избыточности вычислений ясно, что реальная эффективность будет существенно ограничена даже при малых размерах задач, где неустойчивость ещё не сказывается.

2.6 Conclusions for different classes of computer architecture

На области относительно приемлемых ошибок (малые размеры задач) у метода всё равно нет шансов на нормальную реализацию - быстрее будет СЛАУ прогонкой на обычной персоналке решить.

2.7 Existing implementations of the algorithm

Из-за неустойчивости алгоритма его не используют на практике, поэтому планировавшаяся в исходной публикации замена более популярной циклической редукции не удалась.