Householder (reflections) method for reducing of a matrix to Hessenberg form

Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде $A=QRQ^T$ ($Q$ - ортогональная, $R$ — правая почти треугольная матрица). При этом матрица $Q$ хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения. Каждая из матриц отражения может быть определена одним вектором. Это позволяет в классическом исполнении метода отражений хранить результаты разложения на месте матрицы A с использованием одномерного дополнительного массива.

Для выполнения разложения матрицы в произведение хессенберговой и двух ортогональных используются попеременные умножения слева и справа её текущих модификаций на матрицы Хаусхолдера (отражений).

A reflection (or a Householder) matrix is a matrix of the form $U=E-2ww^*$, where the vector $w$ is normalized: $w^{*}w=1$. Such a matrix is unitary ($U^{*}U=E$) and Hermitian ($U^{*}=U$) at the same time; consequently, this matrix is its own inverse ($U^{-1}=U$).

Кроме классического метода, есть и другие варианты метода Хаусхолдера, отличающиеся либо наличием блочных операций, либо другими нюансами.