Открытая энциклопедия свойств алгоритмов
Цель AlgoWiki - дать исчерпывающее описание алгоритма, которое поможет оценить его потенциал применительно к конкретной параллельной вычислительной платформе. Кроме классических свойств алгоритмов, например, последовательной сложности, в AlgoWiki представлены дополнительные сведения, составляющие в совокупности полную картину об алгоритме: параллельная сложность, параллельная структура, детерминированность, оценки локальности данных, эффективность и масштабируемость, коммуникационный профиль конкретных реализаций и многие другие.
Читать подробнее: О проектеРазложение Холецкого (метод квадратного корня)
|
Свойства алгоритма:
|
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Разложение Холецкого впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем. Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня [1-3]; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.
Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.
Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).
Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).
Формулы метода:
- [math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]
Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.
В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]1/l_{ii}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.
- Воеводин Вл. В., член-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф.
- Донгарра Дж., проф.
Участники:
- Тыртышников Е.Е., академик, д.ф.-м.н., проф.
- Арушанян О.Б., д.т.н., проф.
- Икрамов Х.Д., д.ф.-м.н., проф.
- Якобовский М.В., д.ф.-м.н., проф.
- Смирнов А.В., д.ф.-м.н.
- Антонов А.С., к.ф.-м.н.
- Воеводин Вад.В., к.ф.-м.н.
- Коньшин И.Н., к.ф.-м.н.
- Степаненко В.М., к.ф.-м.н.
- Фролов А.В., к.ф.-м.н.
- Чернявский А.Ю., к.ф.-м.н.
- Теплов А.М., к.ф.-м.н.
- Баруздин Н.Э.
- Волков Н.И.
