Участник:Казаков Артем/Алгоритм концептуальной кластеризации COBWEB

Эта работа успешно выполнена Преподавателю: в основное пространство, в подстраницу Данное задание было проверено и зачтено. Проверено Dexter и ASA.

Алгоритм концептуальной кластеризации COBWEB
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(N*logN*B^{2}AV)[/math]
Параллельный алгоритм
Параллельная сложность	[math]O(N*logN*log(BAV))[/math]

Автор статьи: Артем Казаков (группа 624)

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм COBWEB — классический метод инкрементальной концептуальной кластеризации. Он создаёт иерархическую кластеризацию в виде дерева классификации: каждый узел этого дерева ссылается на концепт (концепт — описание группы объектов через определенный набор пар аттрибут-значение) и содержит вероятностное описание этого концепта, которое включает в себя вероятность принадлежности концепта к данному узлу.

Узлы, находящейся на определённом уровне дерева классификации, называют срезом. Алгоритм использует для построения дерева классификации эвристическую меру оценки, называемую полезностью категории — прирост ожидаемого числа корректных предположений о значениях атрибутов при знании об их принадлежности к определённой категории относительно ожидаемого числа корректных предположений о значениях атрибутов без этого знания. Чтобы встроить новый объект в дерево классификации, алгоритм COBWEB итеративно проходит всё дерево в поисках «лучшего» узла, к которому отнести этот объект. Выбор узла осуществляется на основе помещения объекта в каждый узел и вычисления полезности категории получившегося среза. Также вычисляется полезность категории для случая, когда объект относится к вновь создаваемому узлу. В итоге объект относится к тому узлу, для которого полезность категории наибольшая.

Однако COBWEB имеет ряд ограничений. Во-первых, он предполагает, что распределения вероятностей значений различных атрибутов статистически независимы друг от друга. Однако это предположение не всегда верно, потому как часто между значениями атрибутов существует корреляция. Во-вторых, вероятностное представление кластеров делает очень сложным их обновление, особенно в том случае, когда атрибуты имеют большое число возможных значений. Это вызвано тем, что сложность алгоритма зависит не только от количества атрибутов, но и от количества их возможных значений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Обозначим:

• [math]\{ A_{1}, A_{2}, ... \}[/math] — множество свойств кластеризуемых объектов
• [math]\{ u_{1j}, u_{2j}, ... \}[/math] — возможнные значения свойства [math]A_{j}[/math]
• [math]\{ C_{1}, C_{2}, ... \}[/math] — множество категорий

[math]P(A_j = u_{ij} | C_k)[/math] — это условная вероятность, с которой свойство [math]A_{j}[/math], принимает значение [math]u_{ij}[/math], если объект относится к категории [math]C_{k}[/math]. Для каждой категории в иерархии определены вероятности вхождения всех значений каждого свойства. При предъявлении нового экземпляра система COBWEB оценивает качество отнесения этого примера к существующей категории и модификации иерархии категорий в соответствии с новым представителем. Критерием оценки качества классификации является полезность категории (category utility).

Критерий полезности категории максимизирует вероятность того, что два объекта, отнесенные к одной категории, имеют одинаковые значения свойств и значения свойств для объектов из различных категорий отличаются. Полезность категории определяется формулой

[math]CU = \sum_{k} \sum_{i} \sum_{j} P(A_j = u_{ij}|C_k) P(C_k|A_j = u_{ij}) P(A_j = u_{ij})[/math]

Значения суммируются по всем категориям [math]C_k[/math], всем свойствам [math]A_j[/math] и всем значениям свойств [math]u_{ij}[/math]. Значение [math]P(A_j = u_{ij} | C_k)[/math] называется предсказуемостью (predictability). Это вероятность того, что объект, для которого свойство [math]A_j[/math] принимает значение [math]u_{ij}[/math], относится к категории [math]C_k[/math]. Чем выше это значение, тем вероятнее, что свойства двух объектов, отнесенных к одной категории, имеют одинаковые значения. Величина [math]P(C_k | A = u_{ij})[/math] называется предиктивностью (predictiveness). Это вероятность того, что для объектов из категории [math]C_k[/math] свойство [math]A_j[/math] принимает значение [math]u_{ij}[/math]. Чем больше эта величина, тем менее вероятно, что для объектов, не относящихся к данной категории, это свойство будет принимать указанное значение. Значение [math]P(A = u_{ij})[/math] — это весовой коэффициент, усиливающий влияние наиболее распространенных свойств. Благодаря совместному учету этих значений высокая полезность категории означает высокую вероятность того, что объекты из одной категории обладают одинаковыми свойствами, и низкую вероятность наличия этих свойств у объектов из других категорий.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на вычисление полезности категории.

Обозначим:

• [math]B[/math] — среднее число потомков узлов в дереве классификации
• [math]N[/math] — число объектов для классификации
• [math]A[/math] — числа свойств у классифицируемых объектов
• [math]V[/math] — среднее число значений, которые могут принимать свойства

На каждом шаге алгоритма (всего [math]N[/math] производится спуск по дереву ([math]O(log_{B}N)[/math]). На каждой итерации спуска производится [math]O(B)[/math] вычислений полезности категории [math]CU[/math], вычисление каждой из которых имеет сложность [math]O(BAV)[/math].

Перемножив сложности выше получам сложность из п. 1.6., что подтверждает, что основная часть вычислительных операций приходится именно на вычисление полезностей категорий.

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме COBWEB реализован метод поиска экстремума в пространстве возможных кластеров с использованием критерия полезности категорий для оценки и выбора возможных способов категоризации.

• Сначала вводится единственная категория, свойства которой совпадают со свойствами первого экземпляра.
• Для каждого последующего экземпляра алгоритм начинает свою работу с корневой категории и движется далее по дереву.
• На каждом уровне выполняется оценка эффективности категоризации на основе полезности категории. При этом оцениваются результаты следующих операций:
  • Отнесение экземпляра к наилучшей из существующих категорий.
  • Добавление новой категории, содержащей единственный экземпляр.
  • Слияние двух существующих категорий в одну новую с добавлением в нее этого экземпляра.
  • Разбиение существующей категории на две и отнесение экземпляра к лучшей из вновь созданных категорий.
• Для слияния двух узлов создается новый узел, для которого существующие узлы становятся дочерними. На основе значений вероятностей дочерних узлов вычисляются вероятности для нового узла. При разбиении один узел заменяется двумя дочерними.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Алгоритм повторяется для каждого нового объекта. В данном алгоритме происходит спуск по дереву и на каждом шаге спуска выбирается одно из действий описанных в п. 1.4.

cobweb(Node, Instance)
 Begin
  if узел Node - это лист, then
    begin
     создать два дочерних узла L1 и L2 для узла Node;
     задать для узла L1 те же вероятности, что и для узла Node;
     инициализировать вероятности для узла L2 соответствующими значениями объекта Instance;
     добавить Instance к Node, обновив вероятности для узла Node ;
    end
  else
    begin
     добавить Instance к Node, обновив вероятности для узла Node;
     для каждого дочернего узла С узла Node вычислить полезность категории при отнесении экземпляра Instance к категории С;
     пусть S1 - значение полезности для наилучшей классификации C1;
     пусть S2 - значение для второй наилучшей классификации C2;
     пусть S3 - значение полезности для отнесения экземпляра к новой категории;
     пусть S4 - значение для слияния C1 и C2 в одну категорию;
     пусть S5 - значение для разделения C1 (замены дочерними категориями);
    end
   if S1 - максимальное значение CU, then
     cobweb(C1, Instance) %отнести экземпляр к C1
   else
     if S3 - максимальное значение CU, then
       инициализировать вероятности для новой категории Cm значениями Instance 
     else 
       if S4 - максимальное значение CU, then 
         begin
           пусть Cm - результат слияния C1 и C2; 
           cobweb(Cm, Instance);
         end 
       else
         if S5 - максимальное значение CU, then 
           begin 
             разделить C1; % Cm - новая категория
             cobweb(Cm, Instance)
           end;
 end

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма равна [math]O(N*log_{B}N*B^{2}AV)[/math]

где:

• [math]B[/math] — среднее число потомков узлов в дереве классификации
• [math]N[/math] — число объектов для классификации
• [math]A[/math] — числа свойств у классифицируемых объектов
• [math]V[/math] — среднее число значений, которые могут принимать свойства

Обоснование сложности приводится в п. 1.3.

1.7 Информационный граф

Рис. 1 Информационный граф алгоритма COBWEB

[math]N_0[/math] — корневой узел

[math]N_{11}, N_{12}, ..., N_{1L}[/math] — узлы первого уровня

[math]N_{21}, N_{22}, ..., N_{2L}[/math] — узлы второго уровня

[math]N_{B1}, N_{B2}, ..., N_{BL}[/math] — узлы последнего уровня

[math]C_1, C_2, ..., C_L[/math] — шаги спуска по дереву

Для выполнения каждой итерации алгоритма (добавления очередного элемента в дерево классификации) необходимо иметь доступ по всему текущему состоянию дерева классификации.

Однако, внутри шага алгоритма зависимость по данным отсутствует. Возможно произвести расчет функции полезности для каждого кластера независимо и в конце сравнить их значения.

1.8 Ресурс параллелизма

Основной вычислительной нагрузкой алгоритма является вычисление функции полезности для категорий. Эта часть алгоритма поддается наиболее простому распараллеливанию. Существует два пути к получению параллельной версии исходного алгоритма:

• распараллеливание процесса вычисления совокупности функций полезности
• распараллеливание вычисления каждой конкретной функции полезности

Оба данных подхода к распараллеливанию могут быть использованы вместе.

• При неограниченном ресурсе параллелизма, вычисление функции полезности может быть произведено за [math]O(log(BAV))[/math] через независимое вычисление каждой её составной части (за [math]O(1)[/math]) и последующую их параллельную редукцию за [math]O(log(q))[/math], где [math]q=BAV[/math] — количество составных частей функции полезности.
• Вычисление совокупности функций полезности (которых [math]O(B)[/math]) также может быть распараллелено c последующей параллельной редукцией за [math]O(log(B))[/math] и итоговой параллельной сложностью [math]O(log(BAV)+log(B))=log(BAV))[/math] (при неограниченном ресурсе параллелизма).
• Продвижение объектов по дереву может не может быть распараллелено, поскольку входные данные для каждой очередной итерации зависят от результата выполнения предыдущей. Всего за время работы алгоритма выполняется [math]O(N*logN)[/math] операций продвижения по дереву.

Таким образом, итоговая параллельная сложность алгоритма равна [math]N*logN*log(BAV)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход алгоритм принимает множество объектов, характеризуемых набором свойств. В свою очередь, каждое свойство может принимать какое-либо значение из множества допустимых значений. Оценка объема входных данных составляет [math]O(N*A)[/math].

Результатом работы алгоритма является построенное дерево классификации, листья которого представляют собой различные классы объектов и содержат сами объекты принадлежащие данному классу. Оценка объема выходных данных составляет [math]O(N*logN)[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Этот алгоритм достаточно эффективен и выполняет кластеризацию на разумное число классов. Поскольку в нем используется вероятностное представление принадлежности, получаемые категории являются гибкими и робастными. Кроме того, в нем проявляется эффект категорий базового уровня, поддерживается прототипирование и учитывается степень принадлежности. Он основан не на классической логике, а, подобно методам теории нечетких множеств, учитывает "неопределенность" категоризации как необходимый компонент обучения и рассуждений в гибкой и интеллектуальной манере.

Оценка вычислительной мощности алгоритма составляет [math]O(N * B * V * (A + logN))[/math].

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма COBWEB проводилось на компьютере с процессором Intel(R) Core(TM) i7-5960X @ 4.30GHz, который поддерживает до 12ти потоков при наличии 6 физических ядер. Была взята реализация алгоритма COBWEB на Python из библиотки Concept Formation и распараллелена с использованием средств Python multiprocessing.

Для исследования масштабируемости проводилось множество запусков программы с разным количеством объектов для кластеризации [math]N[/math], а также с различным числом процессоров. Фиксировались время работы и количество произведенных итераций алгоритма.

Параметры запусков для экспериментальной оценки:

• Количество объектов для кластеризации [math]N[/math]: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000
• Количество процессоров [math]p[/math]: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Версия Python: 3.5

Данные выбирались из стандартной библиотеки тестовых данных Библиоткеи Concept Formation (mushrooms).

Для заданной конфигурации эксперимента и полученным результатам производительность и эффективность реализации расчитывались по формулам:

[math]Perf = \frac{N_{op}}{t}\ \ (FLOPS),[/math], где [math]N_{op}[/math] — точное число операций с плавающей точкой (операции с памятью, а также целочисленные операции не учитывались), вычисленное в соответствие с разделом "Последовательная сложность алгоритма";

[math]Efficiency = \frac{100 * Performance}{Perf_{Peak}^{p}}\ \ (%),[/math], где [math]Perf_{Peak}^{p}[/math] – пиковая производительность суперкомпьютера при [math]p[/math] процессорах, вычисленная согласно спецификациям Intel^® Core i7^® X5960.

Графики зависимости производительности и эффективности параллельной реализации COBWEB от числа векторов для кластеризации ([math]N[/math]) и числа процессоров ([math]p[/math]) представлены ниже.

Рис. 2 Время работы алгоритма COBWEB в зависимости от числа процессов и размера задачи

Рис. 3 Эффективность алгоритма COBWEB в зависимости от числа процессов и размера задачи

Таким образом можно сделать вывод о том, что данная реализация обладает слабой масштабируемостью. Во многом это связано с высокими накладными расходами на параллелизм в среде исполнения Python.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие реализации алгоритма COBWEB:

• Concept Formation библиотека, содержащая реализации алгоритмов COBWEB и COBWEB/3 для языка Python.
• Weka библиотека и инструмент для анализа данных на языке Java.
• Java-ML библиотека машинного обучения на языке Java.

Так как существуют алгоритмы кластеризации, обладающие лучшими свойствами, алгоритм COBWEB практически не применяется и параллельных реализаций этого алгоритма нет.