Просмотр кода страницы Участник:Eugeny/Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим

== Свойства и структура алгоритма ==
=== Общее описание алгоритма ===
'''Теоретическая фу́нкция распределе́ния   в теории вероятностей''' — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, строго меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число.  <br>
'''Эмпири́ческая фу́нкция распределе́ния''' — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том,  что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события  , а эмпирическая – относительную частоту этого же события.

В практической работе часто возникает необходимость определить соответствие эмпирического и теоретического распределения или двух и более эмпирических распределений между собой. Общие принципы сравнения основываются на анализе так называемой нулевой гипотезы. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет. Статистический анализ должен привести или к отклонению нулевой гипотезы, если доказана достоверность полученных различий, или к ее сохранению, если достоверность различий не доказана, т.е. различия признаны случайными.
=== Математическое описание алгоритма ===
Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа χ2 предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на k непересекающихся интервалов граничными точками <br>
<math>x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)}</math> <br>
где <math>x_{(0)}</math> — нижняя грань области определения случайной величины; <math>x_{(k)}</math> — верхняя грань.
В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число <math>n_{i}</math> выборочных значений, попавших в <math>i</math> -й интервал, и вероятности попадания в интервал <br>
<math>P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ) </math>,<br>
соответствующие теоретическому закону с функцией распределения <math>F(x,\theta )</math>.<br>
При этом <br>
<math>n=\sum _{i=1}^{k}n_{I}</math> и <math>\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1</math>.<br>
При проверке простой гипотезы известны как вид закона <math>F(x,\theta )</math> так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр <math>θ</math>).<br>
В основе статистик, используемых в критериях согласия типа χ2, лежит измерение отклонений <math>n_{i}/n </math> от <math>P_{i}(\theta )</math>.<br>
Статистика критерия согласия χ2 Пирсона определяется соотношением<br>
<math>X_{n}^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}</math><br>
В случае проверки простой гипотезы в пределе при <math>n\to \infty </math>эта статистика подчиняется <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределению с <math>r=k-1</math>степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math>. Плотность <math>\chi _{r}^{2}</math>-распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой<br>
<math>g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}</math>.<br>
Проверяемая гипотеза <math>H_{0}</math> отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики <math>X_{n}^{2*}</math> больше критического значения <math>\chi _{r,\alpha }^{2}</math> , или достигнутый уровень значимости (p-value)<br>
<math>P\left(X_{n}^{2} > X_{n}^{2*}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{X_{n}^{2*}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds</math><br>
меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) <math>\alpha </math>.