Просмотр кода страницы Участник:Egor Luckjanow 403/Алгоритм Грамма-Шмидта

Автор: Егор Лукьянов, студент 403 группы ВМК МГУ
== Свойства и структура алгоритмов ==
=== Общее описание алгоритма ===
Алгоритм Грама-Шмидта предназначен для построения QR-разложения матрицы.
=== Математическое описание алгоритма ===
В основе работы алгоритма лежит метод Грама-Шмидта для построения ортонормированного базиса на основе уже существующего:<br>
<math>q_1 = \frac{a_1}{||a_1||}</math><br>
<math>p_2 = a_2 - (a_2, q_1)q_1</math><br>
<math>q_2 = \frac{p_2}{||p_2||}</math><br>
<math>p_3 = a_3 - (a_3, q_1)q_1 - (a_3, q_2)q_2</math><br>
<math>q_3 = \frac{p_3}{||p_3||}</math><br>
<math>...</math><br>
Мы применяем этот метод к столбцам исходной матрицы A и получаем разложение A = QR, где Q составлена из столбцов q_1,...,q_n, полученных в результате применения метода Грама-Шмидта, а R -- матрица коэффициентов, которая будет верхнетреугольной в силу вида метода.
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
Ядро алгоритма -- последовательное нахождение Q и R, как в математическом описании.
=== Макроструктура алгоритма ===
Макрооперации: скалярное произведение ddot; умножение матрицы на вектор с прибавлением другого вектора daxpy.
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
<source lang="cpp">
void QR(int N, double* A, double* Q, double* R)
{
	int one = 1;
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		R[i * N + i] = 1;
		for (int k = 1; k < i + 1; ++k) {
			R[i - k + i * N] = ddot(&N, A + i * N, &one, Q + (i - k) * N, &one) / ddot(&N, Q + (i - k) * N, &one, Q + (i - k) * N, &one);
		}
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			Q[j + i * N] = A[j + i * N];
		}
		for (int k = 0; k < i; ++k) {
			double tmp = -R[i - k - 1 + i * N];
			daxpy(&N, &tmp, Q + (i - k - 1) * N, &one, Q + i * N, &one);
		}
		for (int k = i + 1; k < N; ++k) {
			R[k + i * N] = 0;
		}
	}
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		double norm = dnrm2(&N, Q + i * N, &one);
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			Q[j + i * N] /= norm;
		}
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			R[i + j * N] *= norm;
		}
	}
}
</source>
=== Последовательная сложность алгоритма ===
Сложность последовательного алгоритма -- <math>O(n^3)</math>.
=== Информационный граф ===
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
Параллельная сложность (в терминах операций сложения и умножения) -- <math>O(n^2)</math>.
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
Входные данные -- размер матрицы и сама матрица.
Выходные данные -- матрицы <math>Q</math> и <math>R</math> из QR-разложения поданной на вход матрицы.
=== Свойства алгоритма ===
Алгоритм Грамма-Шмидта обладает свойством потери ортогональности. Поэтому для корректной его реализации необходимо время от времени делать реортогонализацию, а также обеспечить максимально возможную точность вычислений с плавающей точкой.
Можно реализовать алгоритм для работы с рациональными матрицами. Тогда проблема с потерей ортогонализации пропадает (в виду идеальной точности вычислений в кольцах вида <math>\mathbb{Z}/<m></math> на компьютере).
== Программная реализация алгоритма ==
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
Проблема с потерей ортогональности уже описана в свойствах алгоритма.
=== Локальность данных и вычислений ===
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
Метод Грамма-Шмидта плохо приспособлен для параллельной реализации. Единственный способ, известный автору -- отдать каждому процессу по группе столбцов <math>q_i</math> для вычисления.
Число пересылок тогда составляет <math>n(n+1)/2</math>.
==== Код возможной реализации ====
<source lang="cpp">
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <mpi.h>
#include <omp.h>
#include <mkl.h>
#include <cstdlib>

#define world MPI_COMM_WORLD

void gather(int n, double *A, int id, double *q, double *r, int nmon)
{
	double *Q = new double[n * n], *R = new double[n * n];
	MPI_Gather(q, n * nmon, MPI_DOUBLE, Q, n * nmon, MPI_DOUBLE, 0, world);
	MPI_Gather(r, n * nmon, MPI_DOUBLE, R, n * nmon, MPI_DOUBLE, 0, world);
	if (id != 0)
		return;
	#pragma omp parallel for
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int ione = 1;
		double norm = dnrm2(&n, Q + i * n, &ione);
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			Q[j + i * n] /= norm;
			R[i + j * n] *= norm;
		}
	}
	double one = 1;
	double zero = 0;
	char trans = 'N';
	double *tmpA = new double[n * n];
	dgemm(&trans, &trans, &n, &n, &n, &one, Q, &n, R, &n, &zero, tmpA, &n);
	int n2 = n * n;
	double mone = -1;
	int ione = 1;
	daxpy(&n2, &mone, A, &ione, tmpA, &ione);
	std:: cout << dnrm2(&n2, tmpA, &ione) << std::endl << std::endl;
	char trans2 = 'T';
	dgemm(&trans, &trans2, &n, &n, &n, &one, Q, &n, Q, &n, &zero, A, &n);
	double *I = new double[n * n];
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	for (int j = 0; j < n; ++j)
		if (i == j)
			I[j + i * n] = 1;
		else
			I[j + i * n] = 0;
	daxpy(&n2, &mone, I, &ione, A, &ione);
	std::cout << dnrm2(&n2, A, &ione) << std::endl << std::endl;

}

int main(int argc, char *argv[])
{
	int rinit;
	MPI_Init(&argc, &argv);
	sscanf(argv[1], "%d", &rinit);
	srand(rinit);
	int nproc;
	MPI_Comm_size(world, &nproc);
	int nmon = 20;
	int n = nmon * nproc;
	MPI_Status status;
	double *A = new double[n * n];
	#pragma omp parallel for
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	for (int j = 0; j < n; ++j)
		if (i == j)
			A[j + i * n] = rand();
		else
			A[j + i * n] = rand();
	int id;
	int ione = 1;
	MPI_Comm_rank(world, &id);
	double *s = new double[n * nmon];
	double *q = new double[n * nmon], *r = new double[n * nmon];
	for (int i1 = 0; i1 < nmon; ++i1)
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		q[i1 * n + i] = A[i + (id * nmon + i1) * n];
	for (int i1 = 0; i1 < nmon; ++i1)
	{
		for (int i = 0; i < id; ++i)
		{
		MPI_Recv(s, n * nmon, MPI_DOUBLE, i, 1, world, &status);
		for (int j = 0; j < nmon; ++j)
		{
			double arg = -ddot(&n, A + (id * nmon + i1) * n, &ione, s + j * n, &ione) / ddot(&n, s + j * n, &ione, s + j * n, &ione);
			daxpy(&n, &arg, s + j * n, &ione, q + i1 * n, &ione);
			r[i1 * n + i * nmon + j] = -arg;
		}
		}
		for (int i = 0; i < i1; ++i)
		{
			double arg = -ddot(&n, A + (id * nmon + i1) * n, &ione, q + i * n, &ione) / ddot(&n, q + i * n, &ione, q + i * n, &ione);
			daxpy(&n, &arg, q + i * n, &ione, q + i1 * n, &ione);
			r[i1 * n + id * nmon + i] = -arg;

		}
		r[i1 * n + id * nmon + i1] = 1;
		for (int i = id * nmon + i1 + 1; i < n; ++i)
			r[i1 * n + i] = 0;
		MPI_Request req;
		#pragma omp parallel for
		for (int i1 = 0; i1 < nmon; ++i1)
		for (int i = id + 1; i < nproc; ++i)
			MPI_Isend(q, n * nmon, MPI_DOUBLE, i, 1, world, &req);
	}
	MPI_Barrier(world);
	gather(n, A, id, q, r, nmon);
	MPI_Finalize();
	return 0;
}
</source>
==== Результаты работы данного кода ====
[[Файл:Результаты запусков|обрамить|слева|Результаты запусков]]

=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
Алгоритм увеличивает время своей работы при добавлении независимых вычислительных ядер.
Алгоритм обладает сильной масштабируемостью.
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
При выборе системы для запуска предпочтение следует отдавать скорости обмена данными между процессами.
При выборе архитектуры необходимо учесть наличие возможности вычислений с высокой точностью.
Параллельный алгоритм не дает разительного превосходства по времени исполнения в сравнении с последовательным, но все же имеет место заметное уменьшение времени исполнения при выполнении указанных условий.
=== Выводы для классов архитектур ===
Реализация архитектурно независима. Зависимы только макрооперации, которые предполагаются уже реализованными.
=== Существующие реализации алгоритма ===
В силу потери ортогональности алгоритм Грамма-Шмидта пользуется небольшой популярностью в сравнении с альтернативными методами QR-разложения, так что популярных параллельных реализаций нет.
Альтернативный (не Грамм-Шмидт) метод представлен, например, в пакете LAPACK и является одним из лучших по производительности.
== Литература ==
#Е. Е. Тыртышников, Методы численного анализа
#Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц
#С. Ленг, Алгебра
#Е. Е. Тыртышников, Основы алгебры