Участник:Alexbashirov/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики

Алгоритм Ланцоша для точной арифметики

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

1.1.1 История

Алгоритм Ланцоша является прямым алгоритмом поиска собственных значений симметричной матрицы, разработанным венгерским физиком и математиком XX столетия Корнелием Ланцошем в 1950 году. Алгоритм совмещает в себе два других алгоритма: алгоритм построения подпространства Крылова (который также был создан Ланцошем) и процедуру Рэлея-Ритца приближения собственных значений матрицы. Алгоритм является вариацией степенного метода, позволяющего найти собственные значения и собственные вектора матрицы [math]n[/math]-го порядка. Однако в алгоритме число итераций ограничено некоторым [math]k[/math], где [math]k\lt \lt n[/math]. Несмотря на заявленную вычислительную эффективность, алгоритм не получил широкого применения в своём первоначальном виде, ввиду его неустойчивости. 20 лет спустя, в 1970 году ученые Ojalvo и Newman показали доработанный алгоритм Ланцоша, который теперь стал устойчивым а также предложили способ выбора вектора начального приближения [math]v_0[/math]. Полученный последователями Ланцоша алгоритм получил название "Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией".

1.1.2 Описание

Алгоритм Ланцоша работает с вещественной симметричной матрицей [math]A=A^T[/math], таким образом в памяти достаточно хранить лишь немногим более половины элементов матрицы [math]A[/math].

Прежде чем переходить к описанию алгоритма, следует упомянуть следующие понятия: подпространство Крылова и процесс Рэлея-Ритца, о которых уже было сказано в исторической справке выше. Подпространством Крылова называется набор векторов[math]K_n =[b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b][/math] , который образуется в ходе работы степенного метода