Метод Холецкого (нахождение симметричного треугольного разложения)

1 Разложение Холецкого (метод квадратного корня), базовый точечный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы

Разложение Холецкого (метод квадратного корня), базовый точечный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы.

2 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для плотной симметричной положительно-определённой матрицы

Можно также рассмотреть блочный вариант разложения Холецкого. Предположим, что [math]n=MN[/math], тогда исходную матрицу [math]A[/math] размера [math]n\times n[/math] можно представить как блочную матрицу размера [math]N\times N[/math] с блоками размера [math]M\times M[/math]. Все формулы, используемые для получения точечного разложения Холецкого, для блочной матрицы [math]А[/math] останутся практически без изменений. Вместо явного обращения диагональных блоков, эффективнее будет хранить их в факторизованном виде [math]D_{ii}=L_{ii}L^T_{ii}[/math], а вместо точечной операции деления использовать операции решения треугольных систем. Общее количество арифметических операций при этом останется практически неизменным, но зато существенно возрастет локальность вычислений. Размер блока [math]M[/math] выбирают таким образом, чтобы все блоки, участвующие в операции исключения, помещались в кэш первого или второго уровня. В этом случае подкачки данных в память будут минимальными.

Аналогичный прием понадобится также и для эффективной реализации параллельной версии разложения Холецкого, что позволит минимизировать как общее количество обменов, так и количество пересылаемой между процессорами информации. Полезным побочным эффектом использования блочной версии разложения Холецкого может стать повышение скалярной эффективности алгоритма за счет явного использования размера блока [math]M[/math] во внутренних циклах (прием "разворачивания цикла" или "loop unrolling").

3 Разложение Холецкого, точечный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы

Если исходная матрица [math]A[/math] представлена в разреженном виде, то для экономии памяти, а также арифметических операций, необходимо учитывать ее разреженность.

3.1 Основные отличия от случая плотной матрицы

В этом разделе необходимо рассмотреть три следующие виды разреженности:

1. ленточная матрица - матрица,ненулевые элементы которой сосредоточены внутри ленты шириной [math]2d+1[/math], т.е. когда [math]a_{ij}=0[/math], если [math]|i-j|\gt d[/math]. В этом случае, при проведении разложения Холдецкого новые ненулевые элементы (если внутри ленты имеются нулевые элементы) могут образовываться только внутри этой же ленты. Количество ненулевых элементов в исходной матрице [math]A[/math], а также в нижнетреугольном множителе [math]L[/math] будет около [math](d+1)n[/math], а арифметичекие затраты соcтавят приблизительно [math]d^2n[/math]. Случай, когда матрица состоит всего из нескольких диагоналей (например, при конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных на регулярной сетке) здесь отдельно не рассматривается, т.к. заполнение в нижнетреугольном множителе [math]L[/math] все-равно будет определяться исключительно наличием самой внешней (дальней) диагонали.

2. профильная матрица - в более общем случае, заполнение в каждой строке треугольного множителе [math]L[/math] будет определяться позицией первого ненулевого элемента. Сумма по всем строкам растояний от первого ненулевого элемента строки до главной диагонали и сотавляет "профиль" матрицы и определяет количество ненулевых элементов в нижнетреугольном множителе [math]L[/math].

3. матрица общей структуры разреженности. Верхней границей заполнения треугольного множителя [math]L[/math], конечно же, будет значение "профиля" матрицы, но учет особенностей структуры ненулевых элементов внутри профиля иногда может дать дополнительный эффект в повышении эффективности вычислений.

Для рассмотрения общего случая разреженности необходимо выбрать формат хранения разреженных данных. Таковым может быть, например, формат построчного сжатия данных ("compressed sparse row" или CSR формат). В первом вещественном массиве, подряд (обычно в порядке возрастания номером столбцов) хранятся ненулевые элементы матрицы, во втором, в том же порядке хранятся номера столбцов, в третьем, отдельно сохраняется начало каждой строки. Если общее количество ненулевых элементов в матрице равно nnz ("number of nonzeros"), то пямять для хранения разреженных данных такой матрицы в формате CSR при использовании двойной точности составит [math]3\,{\rm nnz}+n+1[/math]. Оценку количества орифметических операций в общем случае невозможно, т.к. помимо количества ненулевых элементов в исходной матрице оно существенно зависит от структуры ее разреженности.

Для реализации разложения Холецкого в этом случае понадобятся несколько операций с разреженными строками:

а) копирование из одной разреженной строки в другую (или во временный "плотный" вектор, распаковка данных);

б) выполнение операции исключения для одного из элементов строки;

в) вставление в строку нового ненулевого элемента ("fill-in");

г) сжатие данных с копированием из временного плотного вектора в сжатый разреженный (упаковка данных).

3.2 Переупорядочивания для уменьшения количества новых ненулевых элементов

Структура треугольного множителя [math]L[/math], а также объем памяти им занимаемый, зависят от упорядочивания строк и столбцов исходной матрицы [math]A[/math], в котором проводится разложение. Существуют алгоритмы, минимизирующие заполнение матрицы [math]L[/math].

• ) В первую очередь это алгоритм RCM (reversed Cuthill–McKee), который предназначен для уменьшения профиля матрицы. Одновременно с уменьшением профиля происходит и уменьшение заполнения треугольного множителя [math]L[/math]. Это очень широко применяемый, быстрый, но не самый эффективный алгоритм. Русского аналога название этого алгоритма не имеет.

• ) Алгоритм вложенных сечений (Nested Dissection, ND) - служит именно для минимизации заполнения множителя [math]L[/math]. В некоторых частных случаях доказана его ассимптотическая оптимальность.

В общем случае, проблема поиска перестановки минимизирующей заполнение множителя [math]L[/math] является NP-полной задачей.

4 Разложение Холецкого, блочный вещественный вариант для разреженной симметричной положительно-определённой матрицы

Иногда разреженную симметричную матрицу бывает удобно представить в блочном виде с блоками небольшого размера [math]M[/math], равного, например, количеству неизвестных функций на узел при конечно-элементной или конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных. В этом случае структура разреженности хранится сразу для блочной структуры разреженности (что позволяет экономить память на хранении целочисленных массивов). Если общее количество ненулевых блоков размера [math]M\times M[/math] в матрице равно nnz ("number of nonzeros"), то пямять для хранения разреженных данных такой мелкоблочной матрицы в формате CSR при использовании двойной точности составит [math](2M^2+1)\,{\rm nnz}+n/M+1[/math].

В некоторых случаях, размер блока [math]M[/math] может выбираться искуственно, например, для повышения эффективности работы процедур нижнего уровня за счет приема разворачивания циклов (loop unrolling).

Алгоритмы, необходимые при выполнении разложения Холецкого для матриц, рассмотренных в этом разделе, могут быть получены комбинацией уже рассмотренных идей блочности и разреженности.

5 Разложение Холецкого для эрмитовой матрицы

Эрмитовой (или комплексно-самосопряженной) матрицей называют такую квадратную комплексную матрицу [math]A[/math], для элементов которой выполняется соотношение [math]a_{ij}=\overline{a_{ji}}[/math] (здесь, если [math]z=a+{\rm i\,}b\,[/math] и [math]{\rm i}^2=-1[/math], то [math]\overline z=a-{\rm i\,}b\,[/math]). В матричном виде это можно записать как [math]A=\overline{A^T}[/math] или [math]A=A^*=A^Н[/math].

5.1 Точечный вариант

Как естественное обобщение разложения Холецкого для точечной симметричной положительно-определеной матрицы может быть рассмотрено разложение Холецкого для эрмитовой положительно-определеной матрицы. Все формулы для вычисления разложения остаются прежними, только теперь вместо операций над вещественными числами выполняются аналогичные комплексные операции

[math] L_{ii} = \sqrt{ A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}L_{ik}^* } [/math]

[math] L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk}^* \right), ~если~ j \lt i. [/math]

В отличие от вещественного варианта, для выполнении аналогичных комплексных операций потребуется считывать из памяти вдвое больше данных и производить над ними примерно вчетверо больше арифметических операций, что должно не только несколько улучшить локальность вычислений, но и повысить их эффективность.

5.2 Блочный вариант

Реализация блочного варианта разложения Холецкого для эрмитовых матриц будет аналогична рассмотрему выше блочному варианту для вещественных матриц.