Уровень алгоритма

Участник:Alexbashirov/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 19: Строка 19:
  
 
====Вычислительное ядро алгоритма ====
 
====Вычислительное ядро алгоритма ====
Вычислительным ядром алгоритма Ланцоша, то есть наиболее ресурсно-затратной частью алгоритма, является шаг на котором на каждой итерации происходит перемножение матрицы <math>A</math> на вектор <math>q_j</math>, полученный на предыдущей итерации. Полученный в результате умножения вектор обозначается <math>z</math>.
+
Вычислительным ядром алгоритма Ланцоша, то есть наиболее ресурсно-затратной частью алгоритма, является шаг на котором на каждой итерации происходит перемножение матрицы <math>A</math> на вектор <math>q_j</math>, полученный на предыдущей итерации. Полученный в результате умножения вектор обозначается <math>z</math>:
 +
 
 +
<math> z=Aq_j</math>.
 +
 
 +
==== Макроструктура алгоритма ====
 +
Как уже говорилось в математическом описании, алгоритм объединяет в себе два алгоритма: метод построения подпространства Крылова и процедуру поиска собственных значений трехдиагональной матрицы (процес Рэлея-Ритца).
 +
 
 +
Первую составную часть (алгоритм построения подпространства Крылова) представляет итерационный процесс построения матрицы <math>Q_j=[q_1,q_2,...q_k]</math> из <math>j</math> ортонормированных вектров Ланцоша и последующее формирование трехдиагональной матрицы <math>T_j=Q_j^TAQ_j</math>. Число таких векторов и, следовательно, размер матрицы растет с каждой итерацией. Итерационный процесс завершается при <math>j=k</math>.
 +
 
 +
На долю второй части алгоритма приходится поиск собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы <math>T_j=Q_j^TAQ_j</math>, полученной в первой части.
  
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
== Программная реализация алгоритма ==
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==

Версия 21:54, 15 октября 2016


Алгоритм Ланцоша для точной арифметики


1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

1.1.1 История

Алгоритм Ланцоша является прямым алгоритмом поиска собственных значений симметричной матрицы, разработанным венгерским физиком и математиком XX столетия Корнелием Ланцошем в 1950 году. Алгоритм совмещает в себе два других алгоритма: алгоритм построения подпространства Крылова (который также был создан Ланцошем) и процедуру Рэлея-Ритца приближения собственных значений матрицы. Алгоритм является вариацией степенного метода, позволяющего найти собственные значения и собственные вектора матрицы [math]n[/math]-го порядка. Однако в алгоритме число итераций ограничено некоторым [math]k[/math], где [math]k\lt \lt n[/math]. Несмотря на заявленную вычислительную эффективность, алгоритм не получил широкого применения в своём первоначальном виде, ввиду его неустойчивости. 20 лет спустя, в 1970 году ученые Ojalvo и Newman показали доработанный алгоритм Ланцоша, который теперь стал устойчивым а также предложили способ выбора вектора начального приближения [math]v_0[/math]. Полученный последователями Ланцоша алгоритм получил название "Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией".

1.1.2 Математическое описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша работает с вещественной симметричной матрицей [math]A=A^T[/math], таким образом в памяти достаточно хранить лишь немногим более половины элементов матрицы [math]A[/math].

Прежде чем переходить к описанию алгоритма, следует упомянуть следующие понятия: подпространство Крылова и процесс Рэлея-Ритца, о которых уже было сказано в исторической справке выше. Подпространством Крылова называется набор векторов[math]K_n =[b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b][/math]. Начав свою работу с произвольного вектора [math]b_0[/math], степенной метод вычисляет вектора [math]Ab, A^2b,...,A^{n-1}b[/math] итерационно сохраняя полученный результат в вектор [math]b[/math]. Полученная последовательность векторов сходится к собственному вектору, отвечающему максимальному собственному значению [math]\lambda_1[/math]. Однако, использование лишь последнего полученного вектора и потеря всех предшествующих посчитанных величин не всегда является наилучшим выбором. Поэтому сохранив все вектора и объединим их в одну матрицу мы получим так называемую матрицу Крылова:

[math]K_n = [b,Ab,A^2b,...,A^{n-1}b][/math].

Столбцы получившейся матрицы не ортогональны, однако их можно ортогонализировать, применив процесс Грамма-Шмидта. Получившееся вектора будут составлять базис подпространства Крылова [math]K_n[/math]. Можно ожидать, что вектора полученного базиса будут достаточно хорошо приближать [math]n[/math] собственных векторов, отвечающих [math]n[/math] наибольшим собственным значения.

1.1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма Ланцоша, то есть наиболее ресурсно-затратной частью алгоритма, является шаг на котором на каждой итерации происходит перемножение матрицы [math]A[/math] на вектор [math]q_j[/math], полученный на предыдущей итерации. Полученный в результате умножения вектор обозначается [math]z[/math]:

[math] z=Aq_j[/math].

1.1.4 Макроструктура алгоритма

Как уже говорилось в математическом описании, алгоритм объединяет в себе два алгоритма: метод построения подпространства Крылова и процедуру поиска собственных значений трехдиагональной матрицы (процес Рэлея-Ритца).

Первую составную часть (алгоритм построения подпространства Крылова) представляет итерационный процесс построения матрицы [math]Q_j=[q_1,q_2,...q_k][/math] из [math]j[/math] ортонормированных вектров Ланцоша и последующее формирование трехдиагональной матрицы [math]T_j=Q_j^TAQ_j[/math]. Число таких векторов и, следовательно, размер матрицы растет с каждой итерацией. Итерационный процесс завершается при [math]j=k[/math].

На долю второй части алгоритма приходится поиск собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы [math]T_j=Q_j^TAQ_j[/math], полученной в первой части.

2 Программная реализация алгоритма

3 Литература