Участник:Demon smd/Нечеткий алгоритм С средних

Нечеткий алгоритм C средних (Fuzzy C-means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(C^2*N*D*IterNumber)[/math]
Объём входных данных	[math]|X|*C [/math]
Объём выходных данных	[math]|X|*C [/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(\log_{2}C^4*|X|^3) * IterNumber[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(C^2*|X|)[/math]

Авторы описания алгоритма: Д.А.Гуськов М.А.Абраменкова

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Нечёткий алгоритм кластеризации С-средних был разработан (для случая m=2) J.C. Dunn в 1973 г. и усовершенствован (для случая m>1) J.C. Bezdek в 1981 г. . В отличие от алгоритма c-means данный метод кластеризации предполагает, что входные данные могут принадлежать более, чем одному кластеру одновременно. Алгоритм получает на вход набор кластеризуемых векторов, количество кластеров, коэффициент неопределённости m и коэффициент [math]\varepsilon \gt 0[/math], определяющий точность алгоритма. На выходе алгоритма получаем матрицу вероятностей принадлежности каждого входного вектора каждому кластеру.

Нечеткий алгоритм С средних заключается в следующем. Изначально для каждого вектора определяется случайным образом вероятность принадлежности вектора к каждому кластеру. Далее запускается итерационный процесс, на каждой итерации которого происходит:

1) расчёт центров кластеров

2) расчёт Евклидова расстояния от каждого вектора до центра каждого кластера

3) расчёт и нормализация коэффициентов принадлежности векторов кластерам

4) расчёт значения решающей функции и сравнение этого значения со значением решающей функции на предшествующей итерации: если разница этих значений меньше установленного значения, то алгоритм прекращает работу (решающая функция возвращает сумму всех Евклидовых расстояний каждого объекта к каждому центру кластера умноженному на коэффициент принадлежности)

1.2 Математическое описание алгоритма

Нечеткий алгоритм С средних минимизирует величину:

[math] \begin{align} J_{m} = \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{C}u_{i,j}^m\left\Vert{x_{i}-c_{j}}\right\|^2 & , & & 1 \le m \le \infty , \\ \end{align} [/math]

где m - это действительное число не меньше единицы, [math]u_{i,j}[/math] - коэффициент принадлежности вектора [math]x_{i}[/math] к кластеру [math]c_{j}[/math], [math]x_{i}[/math] - [math]i[/math]-ый компонент [math]N[/math]-мерного вектора [math]x[/math], [math]c_{j}[/math] - центр [math]j[/math]-ого кластера, а [math]\left\Vert{*}\right\|[/math] - это любая норма, определяющая расстояние от вектора до центра кластера. Нечёткое разбиение входных данных на кластеры производится итеративной оптимизацией вышеуказанной функции с обновлением коэффициента принадлежности [math]u_{i,j}[/math] и переопределением центра кластера [math]c_{j}[/math] на каждой итерации алгоритма.

1.2.1 Вычисляемые данные на каждой итерации

• Центры кластеров рассчитываются по следующей формуле: [math]c_{j} = {{\sum_{i = 1}^{n}{u_{i,j}^m} * x_{i}} \over {\sum_{i = 1}^{n}{u_{i,j}^m}}}[/math], где [math]u_{i,j}[/math] — коэффициент принадлежности [math]x_{i}[/math] вектора к кластеру [math]c_{j}[/math].

• Коэффициент принадлежности рассчитывается по формуле: [math]u_{i,j} = {1 \over \sum_{k = 1}^{C}{({\left\Vert{x_{i}-c_{j}}\right\| \over \left\Vert{x_{i}-c_{k}}\right\|})}^{2 \over m-1}}[/math]

• Решающая функция рассчитывается по формуле: [math]\max_{i,j}(|u_{i,j}^{(k)} - u_{i,j}^{(k-1)}|)[/math], где [math]k[/math] - номер итерации алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Ядром алгоритма является:

• вычисление новых центров кластеров
• для каждого входного вектора вычисление Евклидова расстояния до центров кластеров, а также коэффициента принадлежности кластерам
• вычисление решающей функции

1.4 Макроструктура алгоритма

В каждой итерации алгоритма происходит 3 основных действия описанных в п. 1.2.1:

• вычисление центров кластеров
• вычисление коэффициентов принадлежности
• вычисление решающей функции

Подробное описание макроструктур в виде кода приведено в пункте 1.5

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Схему реализации последовательного алгоритма можно описать на C++ следующим образом:

FCM (X[], C, m, eps){
    float deside = 0;
    float newDeside = 0;
    generateMembershipDegree();            //заполняет uPrev[][] случайными нормрованными коэффициентами
    while (true){
        newDeside = deside;

        //вычисление центров кластеров
        for (int j=0; j<C; j++){           //для каждого кластера
            float numerator = 0;
            float denumerator = 0;
            for (int i=0; i<X.size(); i++){        //для каждого вектора
                numerator+=pow(u[i][j], m) * x[i];
                denumerator+=pow(u[i][j], m);
            }
            c[j] = numerator / denumerator;
        }

        //вычисление коэффициентов u[][]
        for (int i=0; i<X.size(); i++)    //для каждого вектора
            for (int j=0; j<C; j++){   //для каждого кластера
                sum = 0;
                for (int k=0; k<C; k++)
                    sum+= pow( dist(x[i], c[j]) / dist(x[i], c[k]), 2/(m-1));
                u[i][j] = 1/sum
            }

        //определения максимального различия между u[][] и uPrev[][]
        float max = 0;
        for (int i=0; i<X.size(); i++)    //для каждого вектора
            for (int j=0; j<C; j++){   //для каждого кластера
                if (abs(uPrev[i][j]-u[i][j])>max)
                    max = abs(uPrev[i][j]-u[i][j]);

        if (eps <= max)
            for (int i=0; i<X.size(); i++)    //для каждого вектора
                for (int j=0; j<C; j++){   //для каждого кластера
                    uPrev[i][j]=u[i][j];
        else
            break;
             
    }
    return u;
}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность всего алгоритма складывается из сложности операций на каждой итерации умноженную на количество итераций. Так как в данном алгоритме количество итераций не является фиксированным и зависит от:

• параметра [math]\varepsilon[/math]
• набора входных векторов [math]x[/math]
• выбора начальных коэффициентов [math]u[/math]

то в данном пункте будет приведена сложность одной итерации относительно количества входных векторов. Как видно из предыдущего пункта, для вычисления центров кластеров требуется [math]O(2*C*|X|)[/math] операций, для определения коэффициентов [math]u[/math] - [math]O(C^2*|X|)[/math] операций, а для вычисления решающей функции - [math]O(2*C*|X|)[/math] операций, где [math]|X|[/math] - число входных векторов, а [math]C[/math] - количество кластеров.

Таким образом итоговая сложность одной итерации составляет [math]O(C^2*|X|)[/math].

1.7 Информационный граф

Как видно из пункта 1.5, на каждом действии каждой итерации алгоритма все операции, выполняющиеся в цикле, не зависят друг от друга и могут быть распаралелены. Это показано на Рисунке 1.

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма. (1)-(7) - это наборы последовательных действий (например, (2) - последовательные операции деления, взятия адреса и присваивания).

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

На каждом ярусе ярусно-параллельной формы алгоритма будет располагаться конечное число элементарных операций, например, взятие адреса, сложение или возведение в степень. Информационый граф из п.1.7 изображает свёрнутую ярусно-параллельную форму алгоритма.

Сложность алгоритма будем рассчитывать в предположении, что число вычислительных ядер стремится к бесконечности. Как видно из информационного графа, параллельная сложность вычисления центров кластеров составляет [math]O(\log_{2} C*|X|)[/math], вычисления коэффициентов принадлежности - [math]O(\log_{2} C^2*|X|)[/math], а вычисления решающей функции - не больше чем [math]O(\log_{2} C*|X|)[/math].

Таким образом параллельная сложность итерации алгоритма составляет [math]O(\log_{2} C^4*|X|^3)[/math].

Так как задачи, решаемые в макроструктуре алгоритма могут быть сведены к задачам вычисления суммы элементов массива и максимального элемента массива, то на [math]i[/math]-ом ярусе графа будет находиться [math]{N}\over{2^i}[/math] операции, где N - количество элементов массива.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.9.1 Входные данные алгоритма

• [math]x_{i}[/math] - набор из [math]k[/math] входных векторов длины [math]p[/math]
• [math]C[/math] - количество кластеров
• [math]m[/math] - коэффициент неопределённости
• [math]\varepsilon \gt 0[/math] - коэффициент, определяющий точность алгоритма.

Объем входных данных: [math]kp[/math] (не считая трех коэффициентов)

1.9.2 Выходные данные алгоритма

• [math]u[/math] - матрица принадлежности векторов кластерам

1.10 Свойства алгоритма

Увеличение скорости работы алгоритма при распараллеливании на бесконечном количестве процессоров составляет [math]O({{C^2*|X|}\over{\log_{2} (C^4*|X|^3)}})[/math]. Например, для разбиения 1000 элементов на 10 кластеров производительность параллельного алгоритма будет в 2315 раз больше, а на 20 кластеров - уже в 8477 раз.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Как видно из предыдущих пунктов, масштабируется данный алгоритм хорошо. С увеличением количества процессоров время работы падает, а с увеличением количества входных данных и количества кластеров - растёт. На рисунках показана масштабируемость алгоритма.

Рисунок 2. Масштабируемость алгоритма. Зависимость сложности алгоритма от количества процессоров и входных данных при фиксированном количестве кластеров.

Рисунок 3. Масштабируемость алгоритма. Зависимость сложности алгоритма от количества процессоров и кластеров при фиксированном количестве входных данных.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существует множество реализаций данного алгоритма. Рассмотрим некоторые из них:

- Например, тут: https://habrahabr.ru/post/208496/ приведено краткое описание алгоритма и приведена его реализация на php. В данной статье довольно подробно расписан каждый шаг алгоритма и приведён соответствующий ему фрагмент кода.

- Тут: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2012/v13r207.html приводится реализация алгоритма для PostgreSQL, а также прилагается скрипт внедрения алгоритма.

3 Литература

<references \>