Участник:Максим: различия между версиями
Максим (обсуждение | вклад) |
Максим (обсуждение | вклад) |
||
Строка 49: | Строка 49: | ||
Как и записано в предыдущем пункте основную часть метода составляют множественные вычисления значений функций от нескольких переменных f,g,... и т.д. | Как и записано в предыдущем пункте основную часть метода составляют множественные вычисления значений функций от нескольких переменных f,g,... и т.д. | ||
+ | |||
+ | === Схема реализации последовательного алгоритма === | ||
+ | |||
+ | Последовательность исполнения метода следующая: | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | |||
+ | 1. t_{k+1}=t_{k}+h\\ | ||
+ | 2. k_1=f(t_k,X_k,Y_k,...)h,\\ | ||
+ | m_1=g(t_k,X_k,Y_k,...)h,...,\\ | ||
+ | k_2=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,\\ | ||
+ | m_2=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,...,\\ | ||
+ | k_3=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,\\ | ||
+ | m_3=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,...,\\ | ||
+ | k_4=f(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,\\ | ||
+ | m_4=g(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,...\\ | ||
+ | 3.X_{k+1}=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),\\ | ||
+ | Y_{k+1}=\frac{1}{6}(m_1+2m_2+2m_3+m_4),... | ||
+ | </math> | ||
+ | \end{align} |
Версия 16:49, 24 ноября 2016
Содержание
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Ме́тод Ру́нге — Ку́тты 4-го порядка — важный итерационный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он был разработан около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Для численного решения системы на отрезке, на котором определена независимая переменная, задается сетка с некоторым маленьким шагом. Последовательно, на каждом шаге, вычисляем значения зависимых переменных через значения зависимых переменных на предыдущем шаге по формулам Рунге-Кутты.
1.2 Математическое описание алгоритма
Рассматривается следующая система ОДУ:
[math] \begin{align} X^'=f(t,X,Y,...)\\ Y^'=g(t,X,Y,...),... \end{align} [/math]
и т.д.
с начальным условием [math] X(t_0)=X_0,Y(t_0)=Y_0,... [/math]
Пусть h-шаг сетки, тогда имеем следующие формулы Рунге-Кутты численного решения системы:
[math] \begin{align} t_{k+1}=t_{k}+h\\ X_{k+1}=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),\\ Y_{k+1}=\frac{1}{6}(m_1+2m_2+2m_3+m_4),...,\\ k_1=f(t_k,X_k,Y_k,...)h,\\ m_1=g(t_k,X_k,Y_k,...)h,...,\\ k_2=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,\\ m_2=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,...,\\ k_3=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,\\ m_3=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,...,\\ k_4=f(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,\\ m_4=g(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,...\\ \end{align} [/math]
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительное ядро метода Рунге-Кутты можно составить из множественных вычислений функций f,g,... и т.д.
1.4 Макроструктура алгоритма
Как и записано в предыдущем пункте основную часть метода составляют множественные вычисления значений функций от нескольких переменных f,g,... и т.д.
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательность исполнения метода следующая: [math] \begin{align} 1. t_{k+1}=t_{k}+h\\ 2. k_1=f(t_k,X_k,Y_k,...)h,\\ m_1=g(t_k,X_k,Y_k,...)h,...,\\ k_2=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,\\ m_2=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_1}{2},Y_k+\frac{m_1}{2},...)h,...,\\ k_3=f(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,\\ m_3=g(t_k+\frac{h}{2},X_k+\frac{k_2}{2},Y_k+\frac{m_2}{2},...)h,...,\\ k_4=f(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,\\ m_4=g(t_k+h,X_k+k_3,Y_k+m_3,...)h,...\\ 3.X_{k+1}=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),\\ Y_{k+1}=\frac{1}{6}(m_1+2m_2+2m_3+m_4),... [/math] \end{align}