Алгоритм Форда-Фалкерсона: различия между версиями

[непроверенная версия]

Версия 00:02, 13 июня 2015

Содержание

1 Свойства и структура алгоритмов
2 Программная реализация алгоритмов
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Форда-Фалкерсона^[1]^[2] (с последующими усовершенствованиями Эдмондса-Карпа^[3] и Е. А. Диница^[4]) предназначен для решения задачи о максимальном потоке в транспортной сети. Время работы алгоритма [math]O(n^2m)[/math] (для алгоритма Диница). В случае целых пропускных способностей, не превосходящих [math]K[/math], сложность [math]O(Km)[/math] (для алгоритма Эдмонса–Карпа).

Алгоритм последовательно улучшает допустимый поток, находя так называемый дополняющий путь и увеличивая поток вдоль этого пути. Варианты алгоритма отличаются способом нахождения дополняющего пути.

В исходном алгоритме Форда–Фалкерсона способ выбора дополняющего пути не уточнялся.
В алгоритме Эдмонса-Карпа выбирается кратчайший дополняющий путь, для чего используется поиск в ширину на каждой итерации;
В алгоритме Диница для выбора кратчайшего пути поддерживается «расслоение» графа, так что поиск в ширину выполняется значительно реже.

1.2 Математическое описание

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

Основной объём вычислений в алгоритме Форда-Фалкерсона приходится на поиск путей от источника к стоку. С этой целью может применяться поиск в ширину, который хорошо распараллеливается. Наилучших результатов можно достичь, если распределить вершины между узлами по слоям примерно одинаковой толщины, так что в каждом слое вершины были бы примерно на одинаковом удалении от источника (такое расслоение также можно найти поиском в ширину).

1.9 Описание входных и выходных данных

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритмов

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Описание локальности данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

C++: Boost Graph Library (функция edmonds_karp_max_flow): алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность [math]O(nm^2)[/math] для действительных весов и [math]O(Kmn)[/math] для целых, не превосходящих [math]K[/math].
Python: NetworkX (функция edmonds_karp): алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность [math]O(nm^2)[/math].
Java: JGraphT (класс EdmondsKarpMaximumFlow), алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность [math]O(nm^2)[/math].

3 Литература

↑ Ford, L R, Jr., and D R Fulkerson. “Maximal Flow Through a Network.” Canadian Journal of Mathematics 8 (1956): 399–404. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.
↑ Ford, L R, Jr., and D R Fulkerson. “A Simple Algorithm for Finding Maximal Network Flows and an Application to the Hitchcock Problem.” Canadian Journal of Mathematics 9 (1957): 210–18.
↑ Edmonds, Jack, and Richard M Karp. “Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems.” Journal of the ACM 19, no. 2 (April 1972): 248–64. doi:10.1145/321694.321699.
↑ Диниц, Е. А. “Алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети со степенной оценкой.” Доклады АН СССР 194, no. 4 (1970): 754–57.

[1] Ford, L R, Jr., and D R Fulkerson. “Maximal Flow Through a Network.” Canadian Journal of Mathematics 8 (1956): 399–404. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.

[2] Ford, L R, Jr., and D R Fulkerson. “A Simple Algorithm for Finding Maximal Network Flows and an Application to the Hitchcock Problem.” Canadian Journal of Mathematics 9 (1957): 210–18.

[3] Edmonds, Jack, and Richard M Karp. “Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems.” Journal of the ACM 19, no. 2 (April 1972): 248–64. doi:10.1145/321694.321699.

[4] Диниц, Е. А. “Алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети со степенной оценкой.” Доклады АН СССР 194, no. 4 (1970): 754–57.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 === Существующие реализации алгоритма ===
-* C++: [http://www.boost.org/libs/graph/doc/ Boost Graph Library] (функция <code>[http://www.boost.org/libs/graph/doc/edmonds_karp_max_flow.html edmonds_karp_max_flow]</code>): алгоритм Эдмонса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math> для действительных весов и <math>O(Kmn)</math> для целых, не превосходящих <math>K</math>.
+* C++: [http://www.boost.org/libs/graph/doc/ Boost Graph Library] (функция <code>[http://www.boost.org/libs/graph/doc/edmonds_karp_max_flow.html edmonds_karp_max_flow]</code>): алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math> для действительных весов и <math>O(Kmn)</math> для целых, не превосходящих <math>K</math>.
-* Python: [https://networkx.github.io NetworkX] (функция <code>[http://networkx.github.io/documentation/networkx-1.9.1/reference/generated/networkx.algorithms.flow.edmonds_karp.html edmonds_karp]</code>): алгоритм Эдмонса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math>.
+* Python: [https://networkx.github.io NetworkX] (функция <code>[http://networkx.github.io/documentation/networkx-1.9.1/reference/generated/networkx.algorithms.flow.edmonds_karp.html edmonds_karp]</code>): алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math>.
-* Java: [http://jgrapht.org JGraphT] (класс <code>[http://jgrapht.org/javadoc/org/jgrapht/alg/EdmondsKarpMaximumFlow.html EdmondsKarpMaximumFlow]</code>), алгоритм Эдмонса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math>.
+* Java: [http://jgrapht.org JGraphT] (класс <code>[http://jgrapht.org/javadoc/org/jgrapht/alg/EdmondsKarpMaximumFlow.html EdmondsKarpMaximumFlow]</code>), алгоритм Эдмондса–Карпа, сложность <math>O(nm^2)</math>.
 == Литература ==
 <references />