Алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Строка 10: Строка 10:
 
     <math>for\, i=1\,\, to\, \, j-1\, \, do: </math>
 
     <math>for\, i=1\,\, to\, \, j-1\, \, do: </math>
 
         <math>if\,  \beta_j|v_i(j)| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\|T_j\| </math>
 
         <math>if\,  \beta_j|v_i(j)| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\|T_j\| </math>
−
             <math>z = z-(y^T_{i,j},z)y_{i,j} </math>
+
             <math>z = z-(y^T_{i,j},z)y_{i,j} </math>, где <math>y_{i,j} = Q_jv_i</math>  
 
     <math>\beta_{j}=\|z\|_2 </math>
 
     <math>\beta_{j}=\|z\|_2 </math>
 
     <math>q_{j+1}=z/\beta_{j}, </math>
 
     <math>q_{j+1}=z/\beta_{j}, </math>
−
      
+
     Вычисляем собственные значения и собственные векторы полученной матрицы <math>T_j</math>.
−
<math>A</math> к вектору <math>q_i</math>.
 
−
 
 
−
<math>i.2\, \alpha_i = \sum\limits_{j=1}^{n}q_{i_j} z_j</math> #Получаем результат скалярного произведения векторов <math>q_i</math> и <math>z</math>.
 
−
 
 
−
<math>i.3\, z_j = z_j - \alpha_i q_{i_j} - \beta_{i-1}q_{i-1_j}, \, j = 1,\,\dots\,, n</math> #Вычисляем линейную комбинацию векторов.
 
−
 
 
−
<math>i.4\, \beta_i = \|z\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} z_j^2}</math> #Считаем норму вектора <math>z</math>.
 
−
 
 
−
<math>i.5</math> Проверка равенства <math>\beta_i == 0</math> # Если норма оказалась равной нулю, то завершаем итерации и переходим к вычислению собственных векторов и собственных значений полученной матрицы. В обратном случае, продолжаем выполнения итераций.
 
−
 
 
−
<math>i.6\, q_{i+1_j} = \frac{z_j}{\beta_i}, \; j = 1,\, \dots \,, n</math> #Нормируем вектор <math>z</math>.
 
−
 
 
−
<math>i.7\,</math> Если выполнили <math>k</math> итераций, то завершаем выполнение итераций, переходим к следующему шагу. Иначе начинаем последующую итерацию цикла.
 
−
 
 
−
<math>4.</math> Вычисляем собственные значения и собственные вектора полученной матрицы <math>T_k</math>.
 

Версия 02:49, 7 декабря 2016

Symbol wait.svgЭта работа прошла предварительную проверку
Дата последней правки страницы: 07.12.2016
Данная работа соответствует формальным критериям.
Проверено ASA.


[math] \beta_0=0,q_0=0[/math]
[math] q_{1} = \frac{b_{j}}{\|b\|_2}[/math], где [math] \|b\|_2 = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n} b_j^2}[/math]
[math] for\, j=1\,\, to\, \, k\, \, do:[/math]
    [math]z=Aq_j,  [/math]
    [math]\alpha_j=q_j^Tz, [/math]
    [math]z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1},  [/math]
    [math]for\, i=1\,\, to\, \, j-1\, \, do: [/math]
        [math]if\,  \beta_j|v_i(j)| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\|T_j\| [/math]
            [math]z = z-(y^T_{i,j},z)y_{i,j} [/math], где [math]y_{i,j} = Q_jv_i[/math] 
    [math]\beta_{j}=\|z\|_2 [/math]
    [math]q_{j+1}=z/\beta_{j}, [/math]
    Вычисляем собственные значения и собственные векторы полученной матрицы [math]T_j[/math].
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Алгоритм_Ланцоша_с_выборочной_ортогонализацией&oldid=20216