Уровень алгоритма

Участник:BDA/Ортогонализация Грама-Шмидта: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 38 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
{{Assignment|ASA|Frolov}}
 +
 
{{algorithm
 
{{algorithm
 
| name              = Ортогонализация Грама-Шмидта
 
| name              = Ортогонализация Грама-Шмидта
 
| serial_complexity = <math>O(nm^2)</math>
 
| serial_complexity = <math>O(nm^2)</math>
−
| pf_height        = <math>?</math>
+
| pf_height        = <math>O(nm)</math>
−
| pf_width          = <math>?</math>
+
| pf_width          = <math>O(m)</math>
 
| input_data        = <math>nm</math>
 
| input_data        = <math>nm</math>
 
| output_data      = <math>nm</math>
 
| output_data      = <math>nm</math>
 
}}
 
}}
  
−
Основные авторы описания: [[Участник:Zodiac|Белов Н. А.]], [[Участник:BDA|Богомолов Д. А.]].
+
Основные авторы описания: [[Участник:Zodiac|Белов Н. А.]] (пункты 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.9, 1.10, 2.4, 2.7, 3), [[Участник:BDA|Богомолов Д. А.]] (пункты 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8, 2.4, 3).
  
 
== Свойства и структура алгоритма ==
 
== Свойства и структура алгоритма ==
Строка 15: Строка 17:
 
Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.
 
Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.
  
−
Ортогонализация Грама–Шмидта<ref>Канатников А.Н., Крищенко А.П. "Линейная алгебра." ― 3-е изд., стер. ― М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002</ref> (процесс Грама–Шмидта) ― наиболее известный алгоритм ортогонализации. Назван в честь Йоргена Педерсена Грама<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Jørgen Pedersen Gram", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref> и Эрхарда Шмидта<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Erhard Schmidt", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref>, однако ранее уже появлялся в работах Лапласа и Коши. Является частным случаем разложения Ивасавы, так как может быть представлен как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами.
+
Ортогонализация Грама–Шмидта<ref>Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. ― 3-е изд., стер. ― М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002</ref> (процесс Грама–Шмидта) ― наиболее известный алгоритм ортогонализации. Назван в честь Йоргена Педерсена Грама<ref>O'Connor, John J., Robertson, Edmund F. Jørgen Pedersen Gram ― MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref> и Эрхарда Шмидта<ref>O'Connor, John J., Robertson, Edmund F. Erhard Schmidt ― MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref>, однако ранее уже появлялся в работах Лапласа и Коши. Является частным случаем разложения Ивасавы, так как может быть представлен как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами.
  
−
Рассматриваемый алгоритм применяется для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей<ref>Орешкин Б.Н., Бакулев П.А. "Быстрая процедура ортогонализации Грамма–Шмидта и ее применение для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей" ― Радиотехника / №12 за 2007 г.</ref>, в протоколах безопасности<ref>Пискова А.В., Менщиков А.А., Коробейников А.Г. "Использование ортогонализации Грама-Шмидта в алгоритме приведения базиса решетки для протоколов безопасности" ― Вопросы кибербезопасности №1(14) 2016</ref>, для повышения экономичности алгоритмов оценивания параметров моделей объектов управления<ref>Карелин А.Е., Светлаков А.А. "Использование ортогонализации Грама-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления" ― Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. — 2006. — Т. 309, № 8. — [С. 15-19].</ref> и в других областях.
+
Рассматриваемый алгоритм применяется для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей<ref>Орешкин Б.Н., Бакулев П.А. Быстрая процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и ее применение для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей ― Радиотехника / №12 за 2007 г.</ref>, в протоколах безопасности<ref>Пискова А.В., Менщиков А.А., Коробейников А.Г. Использование ортогонализации Грама-Шмидта в алгоритме приведения базиса решетки для протоколов безопасности ― Вопросы кибербезопасности №1(14) 2016</ref>, для повышения экономичности алгоритмов оценивания параметров моделей объектов управления<ref>Карелин А.Е., Светлаков А.А. Использование ортогонализации Грама-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления ― Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. — 2006. — Т. 309, № 8. — [С. 15-19].</ref> и в других областях.
  
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
=== Математическое описание алгоритма ===
Строка 48: Строка 50:
  
 
=== Макроструктура алгоритма ===
 
=== Макроструктура алгоритма ===
−
Из описания алгоритма в предыдущих разделов следует, что основную часть данного метода составляют операции вычисления проекций векторов, а также их сумм.
+
Из [[#Математическое описание алгоритма|математического описания алгоритма]] и [[#Вычислительное ядро алгоритма|описания ядра алгоритма]] в предыдущих разделах следует, что основную часть данного метода составляют операции вычисления проекций векторов, а также их сумм. Таким образом, в алгоритме можно выделить следующие макрооперации: скалярное произведение векторов в количестве <math>(m-1)m</math>, а также множественные (всего <math>m-1</math>) вычисления сумм <math>\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j</math>.
 +
 
 +
Макроструктура может быть представлена в следующем виде:
 +
# Вычисление проекций <math>\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_i \forall j: j=\overline{1, i - 1}</math> для текущего шага <math>i</math>.
 +
# Вычисление суммы <math>\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j</math> для текущего шага <math>i</math>.
 +
# Переход на следующий шаг.
  
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
Строка 110: Строка 117:
  
 
# Скалярное произведение векторов требует <math>n-1</math> сложение и <math>n</math> произведений.
 
# Скалярное произведение векторов требует <math>n-1</math> сложение и <math>n</math> произведений.
−
# Вычитание проекции вектора требует <math>2</math> скалярных произведения, <math>1</math> деление, <math>n</math> умножений и <math>n</math> сложений, то есть:
+
# Вычитание проекции вектора требует <math>2</math> скалярных произведения, <math>1</math> деление, <math>n</math> произведений и <math>n</math> сложений, то есть:
 
## <math>3n-2</math> (<math>+</math>);
 
## <math>3n-2</math> (<math>+</math>);
 
## <math>3n</math> (<math>\times</math>);
 
## <math>3n</math> (<math>\times</math>);
Строка 126: Строка 133:
  
 
=== Информационный граф ===
 
=== Информационный граф ===
−
Граф состоит из элементов 2 видов: прямоугольников и овалов. Прямоугольниками обозначаются данные, причем красному цвету соответствуют входные данные, а зеленому - выходные. Овалы означают операции над переданными данными. Голубым цветом обозначены более сложно организованные операции, а синим - менее. Для нахождения <math>\mathbf{b}_i</math> вектора требуются значения всех векторов с номерами, меньшими <math>i</math>, однако, расчеты проекций можно начинать, не дожидаясь вычисления всех векторов, а производить сразу, как только соответствующий ортогональный вектор будет рассчитан. Эта зависимость и отражена на графе ниже.
+
Граф состоит из элементов 2 видов: прямоугольников и овалов. Прямоугольниками обозначаются данные, причем красному цвету соответствуют входные данные, а зеленому ― выходные. Овалы означают операции над переданными данными. Голубым цветом обозначены более сложно организованные операции, а синим ― менее. Для нахождения <math>\mathbf{b}_i</math> вектора требуются значения всех векторов с номерами, меньшими <math>i</math>, однако, расчеты проекций можно начинать, не дожидаясь вычисления всех векторов, а производить сразу, как только соответствующий ортогональный вектор будет рассчитан. Эта зависимость и отражена на графе ниже.
−
[[Файл:Gram_schmidt_graph.png|thumb|800px|center|frame|Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта]]
+
[[Файл:Gram_schmidt_graph.png|thumb|800px|center|frame|Рисунок 1. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта.]]
  
 
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
 
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
−
*
+
Для построения базиса методом Грама–Шмидта в параллельном случае, имея в распоряжении <math>m</math> и более потоков, необходимо выполнить следующие ярусы:
 +
#<math>m-1</math> ярус вычисления проекций;
 +
#<math>m-1</math> ярус вычитания векторов.
 +
 
 +
Эти ярусы чередуются. Количество операций проекции и вычитания векторов уменьшается на единицу в каждом следующем ярусе. Вычисление проекции вектора требует 2 скалярных произведения, 1 деление и <math>n</math> произведений, то есть:
 +
#<math>2n-2</math> (<math>+</math>);
 +
#<math>3n</math> (<math>\times</math>);
 +
#<math>1</math> (<math>\div</math>).
 +
 
 +
Если считать, что вычисление проекции происходит последовательно, то сложность по высоте <math>O(n)</math>, по ширине <math>O(1)</math> (то есть одна операция проекции в ярусе представляется набором ярусов с простыми последовательными операциями). В самом первом ярусе находится <math>m-1</math> проекций и это наибольшее количество операций проекций, тогда сложность по высоте будет <math>O(n)</math>, по ширине ― <math>O(m)</math>.
 +
 
 +
Вычисление вычитания векторов требует <math>n</math> вычитаний, и если считать, что операция происходит последовательно, то сложность по высоте <math>O(n)</math>, по ширине <math>O(1)</math>. Во втором ярусе находится <math>m-1</math> вычитаний и это наибольшее количество операций вычитаний, тогда сложность по высоте будет <math>O(n)</math>, по ширине ― <math>O(m)</math>.
 +
 
 +
Из вышеизложенного следует, что при классификации по ширине ЯПФ алгоритм имеет сложность <math>O(m)</math>, а по высоте ― <math>O(nm)</math>.
 +
 
 
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 
'''Входные данные.''' Матрица <math>A</math> с элементами <math>\alpha_{ij}</math>, где <math>i = \overline{1, m}</math> (количество линейно независимых векторов) и <math>j = \overline{1, n}</math> (размерность пространства), при этом <math>m \leqslant n</math>.
 
'''Входные данные.''' Матрица <math>A</math> с элементами <math>\alpha_{ij}</math>, где <math>i = \overline{1, m}</math> (количество линейно независимых векторов) и <math>j = \overline{1, n}</math> (размерность пространства), при этом <math>m \leqslant n</math>.
Строка 141: Строка 162:
  
 
=== Свойства алгоритма ===
 
=== Свойства алгоритма ===
−
Отношение последовательной и параллельной сложности -- ?
+
<ol>
 +
<li>Отношение последовательной и параллельной сложности в предположении доступности неограниченного числа необходимых ресурсов — <math>m</math>. При этом необходимо отметить, что отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных (вычислительная мощность алгоритма) — линейное.</li>
  
−
Отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных -- линейное.
+
<li>Алгоритм почти полностью детерминирован, то есть гарантирована единственность результата выполнения. Это означает, что возможно накопление ошибок округления, то есть векторы выходной матрицы часто не точно ортогональны. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама-Шмидта называют численно неустойчивым. Однако, процесс Грама-Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Такой алгоритм называется модифицированным процессом Грама-Шмидта. Рассмотрим его отличие подробнее.
 +
<br />
 +
<math>
 +
\begin{array}{l}
 +
\mathbf{b}_j\\
 +
  \\
 +
\mathbf{b}_j
 +
\end{array}
  
−
Алгоритм почти полностью детерминирован, то есть гарантирована единственность результата выполнения.
+
\begin{array}{c}
 +
= \\
 +
  \\
 +
=
 +
\end{array}
  
−
Однако, возможно накопление ошибок округления, то есть векторы выходной матрицы часто не точно ортогональны. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама-Шмидта называют численно неустойчивым.
+
\underbrace{
 +
\underbrace{
 +
\underbrace{
  
−
Процесс Грама-Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Такой алгоритм называется модифицированным процессом Грама-Шмидта.
+
\begin{array}{c}
 +
\mathbf{a}_j \\
 +
  \\
 +
\mathbf{a}_j
 +
\end{array}
  
−
Процесс Грама-Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.
+
\begin{array}{c}
 +
- \\
 +
  \\
 +
-
 +
\end{array}
  
−
Процесс Грама-Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт <math>\mathbf{0}</math> (нулевой вектор) на шаге <math>j</math>, если <math>\mathbf{a}_j</math> является линейной комбинацией векторов <math>\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_{j-1}</math>. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
+
\begin{array}{c}
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j \\
 +
  ||                                      \\
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j
 +
\end{array}
  
−
Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами -- QR-разложение.
+
}_{\mathbf{a}_j^{(1)}}
 +
 
 +
\begin{array}{c}
 +
- \\
 +
  \\
 +
-
 +
\end{array}
 +
 
 +
\begin{array}{c}
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j      \\
 +
  ||                                            \\
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j^{(1)}
 +
\end{array}
 +
 
 +
}_{\mathbf{a}_j^{(2)}}
 +
 
 +
\begin{array}{c}
 +
- \\
 +
  \\
 +
-
 +
\end{array}
 +
 
 +
\begin{array}{c}
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j      \\
 +
  ||                                            \\
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j^{(2)}
 +
\end{array}
 +
 
 +
}_{\mathbf{a}_j^{(3)}}
 +
 
 +
\begin{array}{ccc}
 +
- & \ldots & - \\
 +
              \\
 +
- & \ldots & -
 +
\end{array}
 +
 
 +
\begin{array}{cc}
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j        & (1) \\
 +
  ||                                                  &      \\
 +
\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j^{(j-2)} & (2)
 +
\end{array}
 +
 
 +
</math>
 +
<br />
 +
Формула (1) показывает вычисление <math>\mathbf{b}_j</math> в классическом процессе, а формула (2) — в модифицированном.
 +
<br />
 +
Разница между ними заключается в том, от каких векторов вычисляются компоненты: от <math>\mathbf{a}_j</math> в классическом процессе или от результата предыдущего вычитания, то есть от <math>\mathbf{a}_j^{(k)}</math> в модифицированном процессе. Таким образом, <math>\mathbf{a}_j^{(k)}</math> представляет собой <math>\mathbf{a}_j</math>, из которого удалены компоненты в направлениях <math>\mathbf{b}_1,\,\;\ldots,\;\mathbf{b}_{k}</math>. Компонента вектора <math>\mathbf{a}_j</math> в направлении <math>\mathbf{b}_{k+1}</math> при этом удалении не затрагивается и поэтому она в <math>\mathbf{a}_j^{(k)}</math> такая же, как в <math>\mathbf{a}_j</math>.</li>
 +
 
 +
<li>Процесс Грама-Шмидта может применяться к бесконечной последовательности линейно независимых векторов, а также к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт <math>\mathbf{0}</math> (нулевой вектор) на шаге <math>j</math>, если <math>\mathbf{a}_j</math> является линейной комбинацией векторов <math>\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_{j-1}</math>. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).</li>
 +
 
 +
<li>Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами — QR-разложение.</li>
 +
</ol>
  
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
== Программная реализация алгоритма ==
Строка 162: Строка 260:
 
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
 
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
 
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
 
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
−
''Срок сдачи продлен до 15 ноября.''
+
 
 +
В рамках статьи была написана своя параллельная реализация процесса ортогонализации Грама-Шмидта с использованием OpenMPI. Реализация вместе с данными и вспомогательными скриптами доступна в репозитории [https://github.com/zodinyac/GramSchmidt GramSchmidt].
 +
 
 +
'''Основная идея реализации''': нулевой вычислительный узел является управляющим, остальные ― подчиненными. Подчиненные узлы запрашивают "задание" у управляющего узла ― номер вектора, который требуется расчитать. Когда подчиненный узел заканчивает расчет, то пересылает готовый вектор на управляющий узел и запрашивает следующее задание. Если заданий больше нет, то подчиненный узел заканчивает свою работу. Каждый узел имеет список уже готовых векторов. Если при расчете требуется вектор, которого нет в списке, то он запрашивается у управляющего узла.
 +
 
 +
Испытания реализованного алгоритма проводились на [http://parallel.ru/cluster/lomonosov.html суперкомпьютере "Ломоносов"] Суперкомпьютерного комплекса Московского университета со следующими значениями параметров:
 +
* размер матрицы по одному измерению: 100, 500 и далее с шагом 500 до 10000 элементов,
 +
* число процессов: 1, 2, 4, 8 и далее с шагом 8 до 128. Тестирование с использованием 1, 2, 4 и 8 процессов не использовалось для данных, где размер превышал 5000.
 +
 
 +
'''Основная идея тестирования''': для тестирования реализованного алгоритма были написаны генератор единичной матрицы и программа, проверяющая, что в поданном файле содержится корректная единичная матрица. Также для тестирования на "Ломоносове" был написан скрипт постановки задачи в очередь, поддерживающий в ней всегда три задачи с различными входными данными, то есть после завершения тестирования на одном наборе данных скрипт сразу же ставил в очередь очередной набор.
 +
 
 +
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
 +
! Использованные модули и компиляторы
 +
|-
 +
|
 +
module add slurm
 +
 
 +
module add openmpi/1.8.4-gcc
 +
 
 +
module add gcc/5.2.0
 +
 
 +
Для самой программы был использован компилятор mpicxx, для генератора и тестера ― g++.
 +
|}
 +
 
 +
На следующем рисунке приведен график времени работы алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц.
 +
[[File:Plot3d-gs-belov-bogomolov-1.png|thumb|center|720px|Рисунок 2. График производительности реализации алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.]]
 +
На следующем рисунке приведен график времени работы алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц, при этом часть данных с самым долгим временем работы отброшена, чтобы более наглядно продемонстрировать зависимость.
 +
[[File:Plot3d-gs-belov-bogomolov-2.png|thumb|center|720px|Рисунок 3. График производительности реализации алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.]]
 +
На следующем рисунке приведен график эффективности распараллеливания алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц.
 +
[[File:Gs-parallel_efficiency.png|thumb|center|720px|Рисунок 4. График эффективности распараллеливания алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.]]
 +
Минимальная эффективность распараллеливания 0.12%. Максимальная ― 95%.
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Размер матрицы
 +
! 100
 +
! 500
 +
! 1000
 +
! 1500
 +
! 2000
 +
! 2500
 +
! 3000
 +
! 3500
 +
! 4000
 +
! 4500
 +
! 5000
 +
! 5500
 +
! 6000
 +
! 6500
 +
! 7000
 +
! 7500
 +
! 8000
 +
! 8500
 +
! 9000
 +
! 9500
 +
! 10000
 +
|-
 +
| Число узлов, на которых время работы минимально
 +
| 1
 +
| 32
 +
| 48
 +
| 56
 +
| 24
 +
| 32
 +
| 32
 +
| 40
 +
| 40
 +
| 40
 +
| 48
 +
| 56
 +
| 56
 +
| 56
 +
| 64
 +
| 64
 +
| 72
 +
| 72
 +
| 72
 +
| 80
 +
| 80
 +
|}
 +
 
 
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
 
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
 
=== Выводы для классов архитектур ===
 
=== Выводы для классов архитектур ===

Текущая версия на 12:05, 20 декабря 2016

Symbol confirmed.svgЭта работа успешно выполнена
Преподавателю: в основное пространство, в подстраницу
Данное задание было проверено и зачтено.
Проверено Frolov и ASA.



Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(nm^2)[/math]
Объём входных данных [math]nm[/math]
Объём выходных данных [math]nm[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O(nm)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]O(m)[/math]


Основные авторы описания: Белов Н. А. (пункты 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.9, 1.10, 2.4, 2.7, 3), Богомолов Д. А. (пункты 1.1, 1.2, 1.6, 1.7, 1.8, 2.4, 3).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Ортогонализация Грама–Шмидта[1] (процесс Грама–Шмидта) ― наиболее известный алгоритм ортогонализации. Назван в честь Йоргена Педерсена Грама[2] и Эрхарда Шмидта[3], однако ранее уже появлялся в работах Лапласа и Коши. Является частным случаем разложения Ивасавы, так как может быть представлен как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами.

Рассматриваемый алгоритм применяется для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей[4], в протоколах безопасности[5], для повышения экономичности алгоритмов оценивания параметров моделей объектов управления[6] и в других областях.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные. [math]m[/math] линейно независимых векторов [math]\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m[/math] c размерностью пространства [math]n[/math], записанных в матрице [math]A[/math] с элементами [math]\alpha_{ij}[/math].

Выходные данные. [math]m[/math] ортогональных векторов [math]\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_m[/math] c размерностью пространства [math]n[/math], записанных в матрице [math]B[/math] с элементами [math]\beta_{ij}[/math].

Определим оператор проекции (проецирует вектор [math]\mathbf{a}[/math] коллинеарно вектору [math]\mathbf{b}[/math]) [math]\mathbf{proj_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b}[/math], где [math]\mathbf{\left \langle a,b \right \rangle}[/math] ― скалярное произведение векторов [math]\mathbf{a}[/math] и [math]\mathbf{b}[/math].

Тогда ортогональные векторы вычисляются следующим образом:

[math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

[math]\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_2 [/math]

[math]\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_3 [/math]

[math]\vdots[/math]

[math]\mathbf{b}_m = \mathbf{a}_m - \sum_{j=1}^{m-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_m[/math]

Или поэлементно:

[math]\beta_{1j} = \alpha_{1j}[/math]

[math]\beta_{ij} = \alpha_{ij} - (\sum_{k=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_k} \mathbf{a}_i)_j = \alpha_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\sum_{s=1}^{n}\alpha_{is}\beta_{ks}}{\sum_{s=1}^{n}\beta_{ks}\beta_{ks}}\beta_{kj} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на вычисление сумм [math]\sum_{i=1}^{j-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_i} \mathbf{a}_k \forall j: j=\overline{1, m}[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

Из математического описания алгоритма и описания ядра алгоритма в предыдущих разделах следует, что основную часть данного метода составляют операции вычисления проекций векторов, а также их сумм. Таким образом, в алгоритме можно выделить следующие макрооперации: скалярное произведение векторов в количестве [math](m-1)m[/math], а также множественные (всего [math]m-1[/math]) вычисления сумм [math]\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j[/math].

Макроструктура может быть представлена в следующем виде:

  1. Вычисление проекций [math]\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_i \forall j: j=\overline{1, i - 1}[/math] для текущего шага [math]i[/math].
  2. Вычисление суммы [math]\mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\left \langle a_i,b_j \right \rangle}{\left \langle b_j,b_j \right \rangle }b_j[/math] для текущего шага [math]i[/math].
  3. Переход на следующий шаг.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Рассмотрим алгоритм, написанный в виде функции для математической системы MATLAB.

Входные данные.

Матрица [math]A[/math] с линейно-независимыми векторами в столбцах.

Выходные данные.

Матрица [math]Q[/math] с ортонормированным базисом [math]A[/math].

Использование. 

Q = gramschmidt( A );

Реализация. 

function Q = gramschmidt( A )
% Число векторов.
n = size( A, 2 );
 
% Инициализируем выходную матрицу.
Q = zeros( n );
 
% Преобразуем каждый вектор в базисный:
% (1) j-ый базисный вектор будет ортогонален каждому из предыдущих 1..j-1 векторов;
% (2) будет единичной длины.
for j = 1 : n
    % Выбираем j-ый вектор
    u = A( :, j );
    
    % Специальный случай для j = 1: просто нормируем этот вектор и помещаем
    % первым в найденный базис, так как нет векторов, относительно которых
    % нужно было бы делать его ортогональным.

    % Удаляем из оригинального вектора "u" все компоненты натянутые на базис
    % из векторов 1..j-1, их вклад будет удален.
    % => j-ый вектор ортогонален остальным.
    % Предыдущие базисные вектора были найдены на предыдуших шагах.
    % => соблюдаем принцип ортогональности, но не ортонормированности.
    for i = 1 : j - 1
        u = u - proj( Q(:,i), A(:,j) );
    end
     
    % Нормируем вектор
    Q(:,j) = u ./ norm( u );
end
end
 
% Проекция вектора "a" коллинеарно вектору "e".
function p = proj( e, a )
p = (e' * a) / (e' * e) .* e;
end

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим [math]m[/math] векторов длины [math]n[/math].

  1. Скалярное произведение векторов требует [math]n-1[/math] сложение и [math]n[/math] произведений.
  2. Вычитание проекции вектора требует [math]2[/math] скалярных произведения, [math]1[/math] деление, [math]n[/math] произведений и [math]n[/math] сложений, то есть:
    1. [math]3n-2[/math] ([math]+[/math]);
    2. [math]3n[/math] ([math]\times[/math]);
    3. [math]1[/math] ([math]\div[/math]).
  3. Вычисление [math]i[/math]-го вектора требует [math]i-1[/math] вычитаний проекций, то есть:
    1. [math](3n-2)(i-1)[/math] ([math]+[/math]);
    2. [math]3n(i-1)[/math] ([math]\times[/math]);
    3. [math]i-1[/math] ([math]\div[/math]).
  4. Мы вычисляем вектора от [math]i=1[/math] до [math]m[/math], поэтому множители [math](i-1)[/math] выражаются треугольным числом [math](m-1)\frac{m}{2}[/math].
    1. [math](3n-2)(m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]+[/math]);
    2. [math]3n(m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]\times[/math]);
    3. [math](m-1)\frac{m}{2}[/math] ([math]\div[/math]).

Таким образом, cложность алгоритма [math]O(nm^2)[/math].

1.7 Информационный граф

Граф состоит из элементов 2 видов: прямоугольников и овалов. Прямоугольниками обозначаются данные, причем красному цвету соответствуют входные данные, а зеленому ― выходные. Овалы означают операции над переданными данными. Голубым цветом обозначены более сложно организованные операции, а синим ― менее. Для нахождения [math]\mathbf{b}_i[/math] вектора требуются значения всех векторов с номерами, меньшими [math]i[/math], однако, расчеты проекций можно начинать, не дожидаясь вычисления всех векторов, а производить сразу, как только соответствующий ортогональный вектор будет рассчитан. Эта зависимость и отражена на графе ниже.

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для построения базиса методом Грама–Шмидта в параллельном случае, имея в распоряжении [math]m[/math] и более потоков, необходимо выполнить следующие ярусы:

  1. [math]m-1[/math] ярус вычисления проекций;
  2. [math]m-1[/math] ярус вычитания векторов.

Эти ярусы чередуются. Количество операций проекции и вычитания векторов уменьшается на единицу в каждом следующем ярусе. Вычисление проекции вектора требует 2 скалярных произведения, 1 деление и [math]n[/math] произведений, то есть:

  1. [math]2n-2[/math] ([math]+[/math]);
  2. [math]3n[/math] ([math]\times[/math]);
  3. [math]1[/math] ([math]\div[/math]).

Если считать, что вычисление проекции происходит последовательно, то сложность по высоте [math]O(n)[/math], по ширине [math]O(1)[/math] (то есть одна операция проекции в ярусе представляется набором ярусов с простыми последовательными операциями). В самом первом ярусе находится [math]m-1[/math] проекций и это наибольшее количество операций проекций, тогда сложность по высоте будет [math]O(n)[/math], по ширине ― [math]O(m)[/math].

Вычисление вычитания векторов требует [math]n[/math] вычитаний, и если считать, что операция происходит последовательно, то сложность по высоте [math]O(n)[/math], по ширине [math]O(1)[/math]. Во втором ярусе находится [math]m-1[/math] вычитаний и это наибольшее количество операций вычитаний, тогда сложность по высоте будет [math]O(n)[/math], по ширине ― [math]O(m)[/math].

Из вышеизложенного следует, что при классификации по ширине ЯПФ алгоритм имеет сложность [math]O(m)[/math], а по высоте ― [math]O(nm)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные. Матрица [math]A[/math] с элементами [math]\alpha_{ij}[/math], где [math]i = \overline{1, m}[/math] (количество линейно независимых векторов) и [math]j = \overline{1, n}[/math] (размерность пространства), при этом [math]m \leqslant n[/math].

Объем входных данных. [math]mn[/math]

Выходные данные. Матрица [math]B[/math] с элементами [math]\beta_{ij}[/math], где [math]i = \overline{1, m}[/math] и [math]j = \overline{1, n}[/math], тогда [math]b_{1}, \dots, b_{m}[/math] — система ортогональных векторов.

Объем выходных данных. [math]mn[/math]

1.10 Свойства алгоритма

  1. Отношение последовательной и параллельной сложности в предположении доступности неограниченного числа необходимых ресурсов — [math]m[/math]. При этом необходимо отметить, что отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных (вычислительная мощность алгоритма) — линейное.
  2. Алгоритм почти полностью детерминирован, то есть гарантирована единственность результата выполнения. Это означает, что возможно накопление ошибок округления, то есть векторы выходной матрицы часто не точно ортогональны. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама-Шмидта называют численно неустойчивым. Однако, процесс Грама-Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Такой алгоритм называется модифицированным процессом Грама-Шмидта. Рассмотрим его отличие подробнее.
    [math] \begin{array}{l} \mathbf{b}_j\\ \\ \mathbf{b}_j \end{array} \begin{array}{c} = \\ \\ = \end{array} \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \begin{array}{c} \mathbf{a}_j \\ \\ \mathbf{a}_j \end{array} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1}\,\mathbf{a}_j \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(1)}} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2}\,\mathbf{a}_j^{(1)} \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(2)}} \begin{array}{c} - \\ \\ - \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j \\ || \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3}\,\mathbf{a}_j^{(2)} \end{array} }_{\mathbf{a}_j^{(3)}} \begin{array}{ccc} - & \ldots & - \\ \\ - & \ldots & - \end{array} \begin{array}{cc} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j & (1) \\ || & \\ \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{j-1}}\,\mathbf{a}_j^{(j-2)} & (2) \end{array} [/math]
    Формула (1) показывает вычисление [math]\mathbf{b}_j[/math] в классическом процессе, а формула (2) — в модифицированном.
    Разница между ними заключается в том, от каких векторов вычисляются компоненты: от [math]\mathbf{a}_j[/math] в классическом процессе или от результата предыдущего вычитания, то есть от [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] в модифицированном процессе. Таким образом, [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] представляет собой [math]\mathbf{a}_j[/math], из которого удалены компоненты в направлениях [math]\mathbf{b}_1,\,\;\ldots,\;\mathbf{b}_{k}[/math]. Компонента вектора [math]\mathbf{a}_j[/math] в направлении [math]\mathbf{b}_{k+1}[/math] при этом удалении не затрагивается и поэтому она в [math]\mathbf{a}_j^{(k)}[/math] такая же, как в [math]\mathbf{a}_j[/math].
  3. Процесс Грама-Шмидта может применяться к бесконечной последовательности линейно независимых векторов, а также к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт [math]\mathbf{0}[/math] (нулевой вектор) на шаге [math]j[/math], если [math]\mathbf{a}_j[/math] является линейной комбинацией векторов [math]\mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_{j-1}[/math]. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
  4. Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами — QR-разложение.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

В рамках статьи была написана своя параллельная реализация процесса ортогонализации Грама-Шмидта с использованием OpenMPI. Реализация вместе с данными и вспомогательными скриптами доступна в репозитории GramSchmidt.

Основная идея реализации: нулевой вычислительный узел является управляющим, остальные ― подчиненными. Подчиненные узлы запрашивают "задание" у управляющего узла ― номер вектора, который требуется расчитать. Когда подчиненный узел заканчивает расчет, то пересылает готовый вектор на управляющий узел и запрашивает следующее задание. Если заданий больше нет, то подчиненный узел заканчивает свою работу. Каждый узел имеет список уже готовых векторов. Если при расчете требуется вектор, которого нет в списке, то он запрашивается у управляющего узла.

Испытания реализованного алгоритма проводились на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета со следующими значениями параметров:

  • размер матрицы по одному измерению: 100, 500 и далее с шагом 500 до 10000 элементов,
  • число процессов: 1, 2, 4, 8 и далее с шагом 8 до 128. Тестирование с использованием 1, 2, 4 и 8 процессов не использовалось для данных, где размер превышал 5000.

Основная идея тестирования: для тестирования реализованного алгоритма были написаны генератор единичной матрицы и программа, проверяющая, что в поданном файле содержится корректная единичная матрица. Также для тестирования на "Ломоносове" был написан скрипт постановки задачи в очередь, поддерживающий в ней всегда три задачи с различными входными данными, то есть после завершения тестирования на одном наборе данных скрипт сразу же ставил в очередь очередной набор.

Использованные модули и компиляторы

module add slurm

module add openmpi/1.8.4-gcc

module add gcc/5.2.0

Для самой программы был использован компилятор mpicxx, для генератора и тестера ― g++.

На следующем рисунке приведен график времени работы алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц.

Рисунок 2. График производительности реализации алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.

На следующем рисунке приведен график времени работы алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц, при этом часть данных с самым долгим временем работы отброшена, чтобы более наглядно продемонстрировать зависимость.

Рисунок 3. График производительности реализации алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.

На следующем рисунке приведен график эффективности распараллеливания алгоритма в зависимости от числа процессов и размерности матриц.

Рисунок 4. График эффективности распараллеливания алгоритма в зависимости от числа процессоров и размерности матриц.

Минимальная эффективность распараллеливания 0.12%. Максимальная ― 95%.

Размер матрицы 100 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000
Число узлов, на которых время работы минимально 1 32 48 56 24 32 32 40 40 40 48 56 56 56 64 64 72 72 72 80 80

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Данный алгоритм реализован во множестве библиотек и математических программных пакетах.

  1. Библиотека Epicycle (C#).
  2. Библиотека Spectral Python (SPy).
  3. Библиотека vect (Haskell).

2.7.1 Пакет Mathematica

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Mathematica, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math]. 

Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2
MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs
GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {#2 - MultipleProjection[#2, #1]}] &, {}, mat]
GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]

2.7.2 Пакет Maxima

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета Maxima, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math]. 

load(eigen);
x: matrix ([-2,1,0],[-2,0,1],[-0.5,-1,1]);
y: gramschmidt(x);

2.7.3 Пакет MATLAB

Приведем пример скрипта, предназначенного для пакета MATLAB, который проводит процесс ортогонализации Грама-Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. В данном пакете уже существует функция, которая осуществляет данный процесс. Столбцы входной матрицы предполагаются линейно-независимыми, количество векторов и их координат могут быть произвольными. Функция возращает матрицу X с ортонормированными столбцами и обратимую верхне-треугольную матрицу Y.

В данном случае для примера взяты векторы [math]\{-2,\;1,\;0\}[/math], [math]\{-2,\;0,\;1\}[/math], [math]\{-0{.}5,\;-1,\;1\}[/math]. 

[x y]=gschmidt([-2 1 0; -2 0 1; -0.5 -1 1])

3 Литература

  1. ↑ Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. ― 3-е изд., стер. ― М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002
  2. ↑ O'Connor, John J., Robertson, Edmund F. Jørgen Pedersen Gram ― MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  3. ↑ O'Connor, John J., Robertson, Edmund F. Erhard Schmidt ― MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  4. ↑ Орешкин Б.Н., Бакулев П.А. Быстрая процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и ее применение для борьбы с помехами в адаптивной системе селекции движущихся целей ― Радиотехника / №12 за 2007 г.
  5. ↑ Пискова А.В., Менщиков А.А., Коробейников А.Г. Использование ортогонализации Грама-Шмидта в алгоритме приведения базиса решетки для протоколов безопасности ― Вопросы кибербезопасности №1(14) 2016
  6. ↑ Карелин А.Е., Светлаков А.А. Использование ортогонализации Грама-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления ― Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. — 2006. — Т. 309, № 8. — [С. 15-19].
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:BDA/Ортогонализация_Грама-Шмидта&oldid=21462