VladimirDobrovolsky611/Алгоритм SDDP

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Стохастическое двойственное динамическое программирование (SDDP) – это метод оптимизации, предназначенный для решения динамических задач в условиях неопределенности, то есть в случае, когда некоторые параметры задачи не являются детерминированными. В силу фундаментальности постановки задачи, данный алгоритм может быть применен в самых различных прикладных областях. Например, на сегодняшний день, стохастическое двойственное динамическое программирование активно используется для управления ГЭС в Норвегии, а также вводится в банках для управления рыночными рисками. На сегодняшний день также широко распространены альтернативные динамические методы поиска решений в условиях неопределенности, например, методы, работающие на принципах построения дерева возможных исходов, или методы, работающие на принципах управляющих правил. Однако, методы, работающие по принципу построения дерева, неизбежно сталкиваются с широко известным «проклятием размерности» (curse of dimensionality), а методы, построенные на принципах управляющих правил, как правило, требуют серьезные ограничения на тип управляющих правил, а также на свойства стохастических параметров задачи. Также, в задачах динамического управления присутствует проблема тайм-консистентности решения (time-consistence solution).

Алгоритм SDDP (Stochastic dual dynamic programming) впервые был предложен в статье M.V.F. Pereira и L.M.V.G. Pinto "Multi-stage stochastic optimization applied to energy planning" в 1991 году. Далее алгоритм претерпел множество модернизаций и спецификаций, описанных в труде Alexander Shapiro, Darinka Dentcheva, Andrzej Ruszczynski "Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory", Теперь под аббревиатурой SDDP подразумевается целое семейство алгоритмов.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

1. Количество этапов T, количество состояний на каждом этапе [math]m_t[/math], [math]t = 1,...,T[/math]
2. Размерность задачи N (размерность управляющего правила)
3. Вероятности переходов [math]p_{nt}; t = 1,...,T; n = 1,...,m_t[/math] 
4. матрицы состояний [math]A_i^t, B_i^t, b_i^t, c_i^t[/math]

Совокупность входных параметров в пунктах 1 - 4 формируют сценарную решетку задачи (см. рис. 1)

рис.1 Сценарная решетка и выделенный сценарий (синим)

Вычисляемые данные: Матрица управляющих действий [math]X[/math] (элементы [math]x_{it}; t \in 1,...,T; i \in 1,...,N[/math] - управления для i-го элемента на шаге t)

Постановка задачи:

[math] \left\{\begin{matrix} min \ c_1x_1 + \sum_{i=1}^{m_2}p_{1i}^1Q_2(x_1,\xi_i^2) \\subject \ to \\A_1x_1\geqslant b_1 \\x_1 \geqslant 0 \end{matrix}\right.[/math]

где

[math] Q_t(x_{t-1},\xi_i^t) = \left\{\begin{matrix} min \ c_tx_t + \sum_{j=1}^{m_{t+1}}p_{ji}^tQ_{t+1}(x_t,\xi_j^{t+1}) \\subject \ to \\A_tx_t + B_tx_{t-1}\geqslant b_t \\x_t \geqslant 0 \end{matrix}\right.[/math]

... [math] t=2,...,T-1 \\Q_T(x_{T-1},\xi_i^T) = \left\{\begin{matrix} min \ c_Tx_T \\subject \ to \\A_Tx_T + B_Tx_{T-1}\geqslant b_T \\x_t \geqslant 0 \end{matrix}\right. [/math]