Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ): различия между версиями
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. <br> | Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. <br> | ||
Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | ||
| − | Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i | + | Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A </math>. <br> |
По теореме Пифагора: <math> (z - x^{(i)}, y)_A = 0 </math> для любого <math> y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i </math>. | По теореме Пифагора: <math> (z - x^{(i)}, y)_A = 0 </math> для любого <math> y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i </math>. | ||
Версия 23:53, 21 октября 2017
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.
1.2 Математическое описание алгоритма
Рассмотрим систему уравнений [math] Ax = b [/math], где [math] A^* = A \gt 0 [/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math] x^{(0)} [/math] и перейдем к редуцированной системе [math] Au = r^{(0)} [/math], где [math] r^{(0)} = b - Ax^{(0)} [/math], [math]x = x^{(0)} + u [/math].
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова [math] K_i(r^{(0)}, A) [/math] A-норму ошибки [math] e = x - z [/math], где [math] z [/math] — точное решение системы. Таким образом, [math] x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} [/math], где [math] y^{(i)} = \underset{y\in K_i}{\operatorname{argmin}} || x^{(i)} - z ||_A = \underset{y\in K_i, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A [/math].
По теореме Пифагора: [math] (z - x^{(i)}, y)_A = 0 [/math] для любого [math] y \in K_i \Leftrightarrow r^{(i)} = b - Ax^{(i)} \perp K_i [/math].
